根据银行的规定小额的欠款在持卡人死亡之后，会终止你的账户。小额欠款一般情况下银行不再追究，在欠款金额较大（不同银行以及其申办行对这个金额的判断都不相同），银行选择追究的情况下：
1、债务人死亡的情况下，银行可以起诉债务人的法定继承人和担保人（如果有担保人的情况下）。
2、债务人的法定继承人在遗产继承的份额范围内承担偿还责任，担保人在担保的范围内承担偿还责任。
3、如果债务的金额超出了遗产的价值，继承人没有义务偿还，但如果愿意偿还的话，法院也会支持。
4、法律依据：《继承法》第三十三条【继承遗产与清偿债务】继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。