【数学与算法】贝塞尔(Bézier)曲线

这篇文章详细的介绍了贝塞尔(Bezier)曲线，点击跳转：【怎么理解贝塞尔曲线？】。

原文内容很多很详细，本文摘取了一部分，并对原文做了一定程度的更清晰的排版、说明和修改。

一阶贝塞尔曲线：

对于一阶贝塞尔曲线,从上图我们可以看到，它是一条直线，通过几何知识，很容易根据$t$ 的值，得出线段上那个点的坐标：
B1(t)=P0+(P1−P0)t\color{blue}B_1(t)=P_0+(P_1-P_0)tB1​(t)=P0​+(P1​−P0​)t
也可以变形为：
B1(t)=(1−t)P0+tP1,t∈[0,1]\color{blue}B_1(t)=(1-t)P_0+tP_1, t\in[0,1]B1​(t)=(1−t)P0​+tP1​,t∈[0,1]

一阶贝塞尔曲线很好理解, 就是根据 $t$ 来的线性插值。P0\color{blue}P_0P0​表示的是一个向量$[x,y]$, 其中$x、y$是分别按照这个公式来计算的。

二阶贝塞尔曲线：

在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接。在第一条线段上任选一个点$D$。计算该点到线段起点的距离 $AD$，与该线段总长 $AB$ 的比例。

根据上一步得到的比例，从第二条线段上找出对应的点 E，使得 $$AD:AB=BE:BC$$。


这时候$DE$又是一条直线了, 就可以按照一阶的贝塞尔方程来进行线性插值了,
$$t=AD:AB$$
这时候就可以推出公式了.

P0′=(1−t)P0+tP1\color{blue}P_0'=(1-t)P_0+tP_1P0′​=(1−t)P0​+tP1​ 对应着上图绿色线段的左端点，P0′\color{blue}P_0'P0′​ 点是 P0P1\color{blue}P_0P_1P0​P1​线段上的线性插值结果。

P1′=(1−t)P1+tP2\color{blue}P_1'=(1-t)P_1+tP_2P1′​=(1−t)P1​+tP2​ 对应着上图绿色线段的右端点，P1′\color{blue}P_1'P1′​ 点是 P1P2\color{blue}P_1P_2P1​P2​线段上的线性插值结果。

B2(t)=(1−t)P0′+tP1′=(1−t)((1−t)P0+tP1)+t((1−t)P1+tP2)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2\color{blue} \begin{aligned} B_2(t)&=(1-t)P_0'+tP_1' \\ \\&=(1-t)((1-t)P_0+tP_1)+t((1-t)P_1+tP_2) \\\\ &=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2 \end{aligned} B2​(t)​=(1−t)P0′​+tP1′​=(1−t)((1−t)P0​+tP1​)+t((1−t)P1​+tP2​)=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​​
整理一下公式, 得到二阶贝塞尔公式：
B2(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2,t∈[0,1]\color{blue}B_2(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2, t\in[0,1]B2​(t)=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​,t∈[0,1]
二阶贝塞尔曲线对应着新构造的绿色线段的一阶贝塞尔曲线(线性插值)。P0、P1、P2\color{blue}P_0、P_1、P_2P0​、P1​、P2​ 这三个点是固定不变的点，但是这个绿色曲线是会随着 $t$ 变化而变化的。

由P0、P1、P2\color{blue}P_0、P_1、P_2P0​、P1​、P2​这三个点，进行二阶贝塞尔曲线拟合，得到的曲线是图中的红色曲线：

• 从 $t=0$开始，B2(t)=P0\color{blue}B_2(t)=P_0B2​(t)=P0​，因此，起点和 P0\color{blue}P_0P0​ 点重合；
• $0<t<1$时，曲线点就是图中红色线；
• 到 $t=1$终止，B2(t)=P2\color{blue}B_2(t)=P_2B2​(t)=P2​，因此，终点和 P2\color{blue}P_2P2​ 点重合；

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下面是我的总结：

点击跳转【贝塞尔曲线动态图展示】直观理解贝塞尔曲线。

假如你有5个点P0、P1、P2、P3、P4\color{red}P_0、P_1、P_2、P_3、P_4P0​、P1​、P2​、P3​、P4​，想根据这5个点拟合出一条曲线，那么，如果使用贝赛尔曲线的话，拟合的效果就如上图最后一个所示，最后一个图是4次贝塞尔曲线。4次贝塞尔曲线的控制点就是这五个点，其他点不是4次贝塞尔曲线控制点，叫做中间点，确切的说，是递归需要用到的其他低阶次的控制点。

通过上面图，可以看出，最终的(红色)曲线，就是对这几个点进行拟合得到的贝塞尔曲线。

$n$个控制点对应着$n－\mathrm{１}$阶的贝塞尔曲线。

高阶的贝塞尔可以通过不停的递归直到一阶：

• 4次贝塞尔曲线需要【递归】用到3次贝塞尔曲线；
• 3次贝塞尔曲线需要【递归】用到2次贝塞尔曲线；
• 2次贝塞尔曲线需要【递归】用到1次贝塞尔曲线；
• 1次贝塞尔曲线就是线性插值，就是上面动图中的第一个图。

贝塞尔曲线的性质：

1. 阶次是控制点个数减1。它限定了，给你n个点，你如果要使用贝塞尔曲线，那么只能使用n-1次贝塞尔曲线来拟合，这个限制条件不太友好；
2. 牵一发动全身，移动一个控制点，整段曲线都会变化。

贝塞尔曲线的凸包性质

贝塞尔曲线始终会在包含了所有控制点的最小凸多边形中, 不是按照控制点的顺序围成的最小多边形。这点大家一定注意.　这一点的是很关键的，也就是说可以通过控制点的凸包来限制规划曲线的范围，在路径规划是很需要的一个性质．

凸包可以理解为，有一堆点集，使用一个橡皮筋来套住所有点，最后橡皮筋围成的形状，就是这些点集的凸包。上面最后一个图的5个点中，其实最后一个点P4不是在凸多边形上，而是在这些点组成的凸包内部。

用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。