联邦学习：按Dirichlet分布划分Non-IID样本

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我们在《Python中的随机采样和概率分布(二)》介绍了如何用Python现有的库对一个概率分布进行采样，其中的Dirichlet分布大家一定不会感到陌生。该分布的概率密度函数为

P(x;α)∝k∏i=1xαi−1ix=(x1,x2,…,xk),xi>0,k∑i=1xi=1α=(α1,α2,…,αk).αi>0P(\bm{x}; \bm{\alpha}) \propto \prod_{i=1}^{k} x_{i}^{\alpha_{i}-1} \
\bm{x}=(x_1,x_2,…,x_k),\quad x_i > 0 , \quad \sum_{i=1}^k x_i = 1\
\bm{\alpha} = (\alpha_1,\alpha_2,…, \alpha_k). \quad \alpha_i > 0
其中α\bm{\alpha}为参数。

我们在联邦学习中，经常会假设不同client间的数据集不满足独立同分布(Non-IID)。那么我们如何将一个现有的数据集按照Non-IID划分呢？我们知道带标签样本的生成分布看可以表示为p(x,y)p(\bm{x}, y)，我们进一步将其写作p(x,y)=p(x|y)p(y)p(\bm{x}, y)=p(\bm{x}|y)p(y)。其中如果要估计p(x|y)p(\bm{x}|y)的计算开销非常大，但估计p(y)p(y)的计算开销就很小。所有我们按照样本的标签分布来对样本进行Non-IID划分是一个非常高效、简便的做法。

总而言之，我们采取的算法思路是尽量让每个client上的样本标签分布不同。我们设有KK个类别标签，NN个client，每个类别标签的样本需要按照不同的比例划分在不同的client上。我们设矩阵X∈RK∗N\bm{X}\in \mathbb{R}^{K*N}为类别标签分布矩阵，其行向量xk∈RN\bm{x}_k\in \mathbb{R}^N表示类别kk在不同client上的概率分布向量（每一维表示kk类别的样本划分到不同client上的比例)，该随机向量就采样自Dirichlet分布。

据此，我们可以写出以下的划分算法：

import numpy as np
np.random.seed(42)
def split\_noniid(train\_labels, alpha, n\_clients):'''参数为alpha的Dirichlet分布将数据索引划分为n\_clients个子集'''n_classes = train_labels.max()+1label_distribution = np.random.dirichlet([alpha]*n_clients, n_classes)# (K, N)的类别标签分布矩阵X，记录每个client占有每个类别的多少class_idcs = [np.argwhere(train_labels==y).flatten() for y in range(n_classes)]# 记录每个K个类别对应的样本下标client_idcs = [[] for _ in range(n_clients)]# 记录N个client分别对应样本集合的索引for c, fracs in zip(class_idcs, label_distribution):# np.split按照比例将类别为k的样本划分为了N个子集# for i, idcs 为遍历第i个client对应样本集合的索引for i, idcs in enumerate(np.split(c, (np.cumsum(fracs)[:-1]*len(c)).astype(int))):client_idcs[i] += [idcs]client_idcs = [np.concatenate(idcs) for idcs in client_idcs]return client_idcs

加下来我们在EMNIST数据集上调用该函数进行测试，并进行可视化呈现。我们设client数量N=10N=10，Dirichlet概率分布的参数向量α\bm{\alpha}满足αi=1.0, i=1,2,…N\alpha_i=1.0,\space i=1,2,…N：

import torch
from torchvision import datasets
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plttorch.manual_seed(42)if __name__ == "\_\_main\_\_":N_CLIENTS = 10 DIRICHLET_ALPHA = 1.0train_data = datasets.EMNIST(root=".", split="byclass", download=True, train=True)test_data = datasets.EMNIST(root=".", split="byclass", download=True, train=False)n_channels = 1input_sz, num_cls = train_data.data[0].shape[0],  len(train_data.classes)train_labels = np.array(train_data.targets)# 我们让每个client不同label的样本数量不同，以此做到Non-IID划分client_idcs = split_noniid(train_labels, alpha=DIRICHLET_ALPHA, n_clients=N_CLIENTS)# 展示不同client的不同label的数据分布plt.figure(figsize=(20,3))plt.hist([train_labels[idc]for idc in client_idcs], stacked=True, bins=np.arange(min(train_labels)-0.5, max(train_labels) + 1.5, 1),label=["Client {}".format(i) for i in range(N_CLIENTS)], rwidth=0.5)plt.xticks(np.arange(num_cls), train_data.classes)plt.legend()plt.show()

最终的可视化结果如下：

可以看到，62个类别标签在不同client上的分布确实不同，证明我们的样本划分算法是有效的。