简 介： 对于傅里叶变换，傅里叶级数分解中存在的狄利克雷条件进行实验展示，说明这些条件是如何影响信号的傅里叶变换结果的。

关键词： 傅里叶变换，FFT，狄利克雷条件

 

  傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为 狄利克雷条件（Dirichlet Condition） 。

  下面对于经常看到的不符合Dirichlet条件的波形，通过FFT来研究使用部分它的系数来合成对应的信号时，随着系数的增加，合成波形的变化规律。

1.有限个间断点

  定一个在$\left(0,1\right)$之内具有无限间断点的函数。从0到1之间每前进当前剩余区间一半的时候，函数值就降低一倍。

  根据上面的表达式可以绘制出对应的函数，如下图所示。这个函数具有无穷多个间断点，它的面积为：

∫01f(t)dt=12∑n=0∞14n=12⋅11−1/4=23\int_0^1 {f\left( t \right)dt} = {1 \over 2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{1 \over {4^n }} = {1 \over 2} \cdot {1 \over {1 – 1/4}} = {2 \over 3}}∫01​f(t)dt=21​n=0∑∞​4n1​=21​⋅1−1/41​=32​

^{▲ f(t)一个周期内的波形}

#------------------------------------------------------------
def setfv(t):tn = len(t)f = zeros(tn)for i in range(20):v = 2**(-i)startn = int(tn - v*tn)f[startn:] = vreturn f
#------------------------------------------------------------
t = linspace(0, 1, 100000)
data = setfv(t)
plt.plot(t, data)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

  将信号抽取100000数据，利用FFT计算对应的离散傅里叶系数。下面绘制出前面200个系数的幅值。可以看到该信号的频谱幅度随着n增加迅速降低到0。

^{▲ 信号f(t)的FFT前200个系数的幅值}

  下面给出了利用信号f(t)的前1~200个系数合成信号的过程。可以看到信号在间断点处出现Gibbs过冲现象。但是误差信号还是随着n增加逐步能量降低。

^{▲ 使用前200个系数合成信号波形}

^{▲ 使用前2000个系数合成信号波形}

^{▲ 使用前20000个系数合成信号波形}

2.无限个极值

  下面表达式给出了一个在周期$\left(0,1\right)$内的具有无限多个极大值，极小值的函数：

f1(t)=sin⁡(πt),t∈(0,1)f_1 \left( t \right) = \sin \left( {{\pi \over t}} \right),\,\,t \in \left( {0,1} \right)f1​(t)=sin(tπ​),t∈(0,1)

^{▲ 函数sin(pi/t)的信号波形}

  对这个函数进行离散傅里叶变换（DFT），从0.0001~1之间采集10510^5105个数据的，利用FFT计算DFT的系数，下图绘制了前200个系数的幅值。可以看到它的频率迅速衰减到0。如果jd计算后的系数重新进行逆运算，合成后的波形就会与原来信号保持一致。

^{▲ sin(pi/t)DFT前200个系数幅值}

^{▲ 使用100000000采样后计算的DFT系数}

t = linspace(0.0000000001, 1, 100000000)
data = sin(1/t*pi)
fftdata = fft.fft(data)plt.plot(abs(fftdata[:20000]))
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("abs(fft(data))")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

  下面分别使用sin(1/t)DFT前面若干系数来合成对应的波形。
fN(t)=real{IFFT[X[m:−m]]}f_N \left( t \right) = real\left\{ {IFFT\left[ {X\left[ {m: – m} \right]} \right]} \right\}fN​(t)=real{IFFT[X[m:−m]]}

  下图显示了合成系数的个数分别从1演变到300过程中，合成信号波形的变化。毫不夸张的说，这个波形与sin(1/t)之间几乎毫无关系。

^{▲ 使用sin(pi/t)DFT前200个系数合成信号的波形演变过程}

  如果将合成系数的数量增加10倍，合成之后的波形在左边的高频波形逐步丰富 ，在右端则会出现越来越高的尖峰。

^{▲ 使用sin(pi/t)DFT前2000个系数合成信号的波形演变过程}

^{▲ 使用sin(pi/t)DFT前30000个系数合成信号的波形演变过程}

3.绝对可积

  下图是在$\left(0,1\right)$之间函数：f(t)=1tf\left( t \right) = {1 \over t}f(t)=t1​

  它的面积为无穷大。但是信号的能量为：

Ef=∫01f2(t)dt=∫011t2dt=−1t∣0∞=∞E_f = \int_0^1 {f^2 \left( t \right)dt} = \int_0^1 {{1 \over {t^2 }}dt} = \left. { – {1 \over t}} \right|_0^\infty = \inftyEf​=∫01​f2(t)dt=∫01​t21​dt=−t1​∣∣∣∣​0∞​=∞

^{▲ 信号f(t)在0~1之间的波形}

  下面使用信号的FFT前20000项系数合成信号，随着n增加合成信号的变化过程。

^{▲ 使用信号的FFT前20000个系数重新合成信号}

 

▌附件

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#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-03-23
#
# Note:
#============================================================from headm import *#------------------------------------------------------------def setfv(t):tn = len(t)f = zeros(tn)for i in range(20):v = 2**(-i)startn = int(tn - v*tn)f[startn:] = vreturn f#------------------------------------------------------------
t = linspace(0.0001, 1, 100000)
data = 1/t**2#------------------------------------------------------------#area = sum(data)/len(data)
#printf(area)'''
m = 100plt.draw()
plt.pause(.25)pltgif = PlotGIF()for i in range(200):startm = m * (i+1)dataf = fft.fft(data)dataf[startm:-startm] = 0plt.clf()plt.plot(t, real(fft.ifft(dataf)))plt.xlabel("t")plt.ylabel("ifft(data)")plt.grid(True)plt.title('n = %d'%startm)plt.tight_layout()plt.axis([0, 1, 0, 20])plt.draw()plt.pause(.01)pltgif.append(plt)pltgif.save(r'd:\temp\1.gif')
printf('\a')'''
#------------------------------------------------------------'''datafft = fft.fft(data)plt.plot(abs(datafft[:200]))
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("abs(fft(data))")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()'''
#------------------------------------------------------------plt.plot(t, data)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.axis([0, 1, 0, 20])
plt.tight_layout()
plt.show()#------------------------------------------------------------#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

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■ 相关文献链接:

• 狄利克雷条件（Dirichlet Condition）

● 相关图表链接:

• f(t)一个周期内的波形
• 信号f(t)的FFT前200个系数的幅值
• 使用前200个系数合成信号波形
• 使用前2000个系数合成信号波形
• 使用前20000个系数合成信号波形
• 函数sin(pi/t)的信号波形
• sin(pi/t)DFT前200个系数幅值
• 使用100000000采样后计算的DFT系数
• 使用sin(pi/t)DFT前200个系数合成信号的波形演变过程
• 使用sin(pi/t)DFT前2000个系数合成信号的波形演变过程
• 使用sin(pi/t)DFT前30000个系数合成信号的波形演变过程
• 信号f(t)在0~1之间的波形
• 使用信号的FFT前20000个系数重新合成信号