本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母
表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法中Hessian矩阵的分析。
首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数
，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量
(p×1)对向量
(m×1)的导数
(m×p)，有
；再定义矩阵的（按列优先）向量化
(mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数
(mn×pq)。导数与微分有联系
。几点说明如下：
- 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数
是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号
表示上篇定义的m×n矩阵，则有
。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
- 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为
(mn×mn)，是对称矩阵。对向量
或矩阵
求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵
出发更方便。
，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新
，满足
。
- 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如
(mp×nq)，或是
(mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于
中逐个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。资料[5]综述了以上定义，并批判它们是坏的定义，能配合微分运算的才是好的定义。
- 在资料中，有分子布局和分母布局两种定义，其中向量对向量的导数的排布有所不同。本文使用的是分母布局，机器学习和优化中的梯度矩阵采用此定义。而控制论等领域中的Jacobian矩阵采用分子布局，向量
对向量
的导数定义是
，对应地导数与微分的联系是
；同样通过向量化定义矩阵F对矩阵X的导数
，有
。两种布局下的导数互为转置，二者求微分的步骤是相同的，仅在对照导数与微分的联系时有一个转置的区别，读者可根据所在领域的习惯选定一种布局。
然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系
，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：
- 线性：
。
- 矩阵乘法：
，其中
表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是
(mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
- 转置：
，A是m×n矩阵，其中
(mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)，将按列优先的向量化变为按行优先的向量化。例如
。
- 逐元素乘法：
，其中
(mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。
观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，对照导数与微分的联系
，即能得到导数。
特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系
，即能得到导数。
再谈一谈复合：假设已求得
，而Y是X的函数，如何求
呢？从导数与微分的联系入手，
，可以推出链式法则
。
和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：
。
。
。可以对
求导来证明，一方面，直接求导得到
；另一方面，引入
，有
，用链式法则得到
。
。
，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对
做向量化来证明，一方面，
；另一方面，
。
接下来演示一些算例。
例1：
，X是m×n矩阵，求
。
解：先求微分：
，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：
，对照导数与微分的联系得到
。
特例：如果X退化为向量，即
，则根据向量的导数与微分的关系
，得到
。
例2：
，X是n×n矩阵，求
和
。
解：使用上篇中的技术可求得
。为求
，先求微分：
，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧
，对照导数与微分的联系，得到
，注意它是对称矩阵。在
是对称矩阵时，可简化为
。
例3：
，A是l×m矩阵，X是m×n矩阵，B是n×p矩阵，exp为逐元素函数，求
。
解：先求微分：
，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：
，再用逐元素乘法的技巧：
，再用矩阵乘法的技巧：
，对照导数与微分的联系得到
。
例4【一元logistic回归】：
，求
和
。其中
是取值0或1的标量，
是
列向量。
解：使用上篇中的技术可求得
，其中
为sigmoid函数。为求
，先求微分：
，其中
为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到
。
推广：样本
，
，求
和
。有两种方法，解1：先对每个样本求导，然后相加；解2：定义矩阵
，向量
，将
写成矩阵形式
，进而可以使用上篇中的技术求得
。为求
，先求微分，再用逐元素乘法的技巧：
，对照导数与微分的联系，得到
。
例5【多元logistic回归】：
，求
和
。其中其中
是除一个元素为1外其它元素为0的
列向量，
是
矩阵，
是
列向量，
是标量。
解：上篇中已求得
。为求
，先求微分：定义
，
，注意这里化简去掉逐元素乘法，第一项中
，第二项中
。定义矩阵
，
，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到
。
最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是
，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是
；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是
，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是
。
参考资料：
- 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
- Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
- Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
- HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
- Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics." Wiley, 2019.
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