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在上一篇文章中，我们主要介绍了在计算机中用不动点来表示数字的方法。
简单回顾一下，简单来说，当一个数用一个定数表示时，大家一致认为小数点的位置是固定的，整数部分和小数部分分别转换为二进制，这是定数的结果。
但是用定点来表示小数时，存在数值范围和精度范围有限的缺点，所以在计算机中，我们一般用浮点数来表示小数。
在本文中，让我们详细了解浮点数是如何表示小数的，以及浮点数的范围和精度。
什么是浮点数？
首先，我们需要了解什么是浮点数？
我们之前学过定点数，其中“定点数”是指固定的小数点位置。浮点数的“浮点”是指小数点的位置可以浮动。
你怎么理解这个？
其实浮点数是用科学的计数方法表示的，比如十进制的十进制8.345，可以用科学的计数方法多种方式表示：
8.345=8.345*10^0
8.345=83.45*10^-1
8.345=834.5*10^-2
.
看到了吗？用这种科学的计数方法表示小数时，小数点的位置就变成了“浮点”，这就是浮点名称相对于定点的由来。
用同样的规则，对于二进制数，我们也可以用科学记数法，也就是我们可以把基数10改成2。
00-1010我们已经知道浮点数是用科学计数来表示一个数的，它的格式可以写成：
V=(-1)^S*M*R^E
每个变量的含义如下：
s:符号位，取值为0或1，决定一个数字的符号，0表示正，1表示负M:尾数，用小数表示。比如8.345 * 10 0，8.345是尾数R:基数，表示十进制数R是10，二进制数R是2E:指数，用整数表示，比如10。
现在假设我们用32位来表示一个浮点数，并按照一定的规则用上面的变量填充这些位：
假设我们定义以下规则来填充这些位：
符号S占1位，指数E占10位，尾数M占21位。根据这个规则，十进制数25.125被转换成浮点数。转换过程是这样的(D代表十进制，B代表二进制):
部分：25(D)=11001(B)小数部分：0.125(D)=0.001(B)用二进制科学符号表示：25.125(D)=11001.001(B)=1.1001001 * 2 4(B)
根据上面定义的规则，将它填充到32位，就是这样：
浮点数的结果出来了，不是很简单吗？
但这里有个问题。我们刚才定义的规则，符号位S占1位，指数位E占10位，尾数位M占21位，是随便拍脑袋定义的。
如果你也想做一个新的规则，比如符号位s占1位，指数位e这次占5位，尾数m占25位，可以吗？当然可以。
根据这个规则，浮点数是这样的：
我们可以看到，指数和尾数分配的位数是不同的，这将导致以下情况：
指数位越多，尾数位越少，表达式的范围越大，但精度越差。相反，指数位越少，尾数位越多，表达式的范围越小，但浮点数格式的精度越好。由于定义规则的不同，会得到不同的结果，表达的范围和精度也不同。早期人们提出浮点数的定义就是这种情况。当时，有许多计算机制造商，如IBM。
这样一来，当一个程序在不同厂家的计算机中进行浮点运算时，需要转换成这个厂家指定的浮点格式才能进行计算，这必然会增加计算的成本。
那如何解决这个问题呢？业界迫切需要一个统一的浮点标准。
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浮点数标准
直到1985年，IEEE 组织推出了浮点数标准，就是我们经常听到的 IEEE754 浮点数标准，这个标准统一了浮点数的表示形式，并提供了 2 种浮点格式：
单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit
为了使其表示的数字范围、精度最大化，浮点数标准还对指数和尾数进行了规定：
尾数 M 的第一位总是 1（因为 1 <= M < 2），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字，双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字指数 E 是个无符号整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。
除了规定尾数和指数位，还做了以下规定：
指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按上面的规则正常计算指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）指数 E 全 1，尾数非 0：NaN(Not a Number)
标准浮点数的表示
有了这个统一的浮点数标准，我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：
整数部分：25(D) = 11001(B)小数部分：0.125(D) = 0.001(B)用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
所以 S = 0，尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中，如下：
这就是标准 32 位浮点数的结果。
如果用 double 表示，和这个规则类似，指数位 E 用 11 bit 填充，尾数位 M 用 52 bit 填充即可。
浮点数为什么有精度损失？
我们再来看一下，平时经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？
如果我们现在想用浮点数表示 0.2，它的结果会是多少呢？
0.2 转换为二进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在小数为止，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果。
0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = 0.4 -> 0（发生循环）
…
所以 0.2(D) = 0.00110…(B)。
因为十进制的 0.2 无法精确转换成二进制小数，而计算机在表示一个数字时，宽度是有限的，无限循环的小数存储在计算机时，只能被截断，所以就会导致小数精度发生损失的情况。
浮点数的范围和精度有多大？
最后，我们再来看一下，用浮点数表示一个数字，其范围和精度能有多大？
以单精度浮点数 float 为例，它能表示的最大二进制数为 +1.1.11111…1 * 2^127（小数点后23个1），而二进制 1.11111…1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大数为 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表示范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。
它能表示的精度有多小呢？
float 能表示的最小二进制数为 0.0000….1（小数点后22个0，1个1），用十进制数表示就是 1/2^23。
用同样的方法可以算出，double 能表示的最大二进制数为 +1.111…111（小数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308，所以 double 能表示范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308。
double 的最小精度为：0.0000…1(51个0，1个1)，用十进制表示就是 1/2^52。
从这里可以看出，虽然浮点数的范围和精度也有限，但其范围和精度都已非常之大，所以在计算机中，对于小数的表示我们通常会使用浮点数来存储。
总结
这篇文章我们主要讲了数字的浮点数表示方式，总结如下：
浮点数一般用科学计数法表示把科学计数法中的变量，填充到固定 bit 中，即是浮点数的结果在浮点数提出的早期，各个计算机厂商各自制定自己的浮点数规则，导致不同厂商对于同一个数字的浮点数表示各不相同，在计算时还需要先进行转换才能进行计算后来 IEEE 组织提出了浮点数的标准，统一了浮点数的格式，并规定了单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double，从此以后各个计算机厂商统一了浮点数的格式，一直延续至今浮点数在表示小数时，由于十进制小数在转换为二进制时，存在无法精确转换的情况，而在固定 bit 的计算机中存储时会被截断，所以浮点数表示小数可能存在精度损失浮点数在表示一个数字时，其范围和精度非常大，所以我们平时使用的小数，在计算机中通常用浮点数来存储
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这就是标准 32 位浮点数的结果。
如果用 double 表示，和这个规则类似，指数位 E 用 11 bit 填充，尾数位 M 用 52 bit 填充即可。
浮点数为什么有精度损失？
我们再来看一下，平时经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？
如果我们现在想用浮点数表示 0.2，它的结果会是多少呢？
0.2 转换为二进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在小数为止，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果。
0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = 0.4 -> 0（发生循环）
…
所以 0.2(D) = 0.00110…(B)。
因为十进制的 0.2 无法精确转换成二进制小数，而计算机在表示一个数字时，宽度是有限的，无限循环的小数存储在计算机时，只能被截断，所以就会导致小数精度发生损失的情况。
浮点数的范围和精度有多大？
最后，我们再来看一下，用浮点数表示一个数字，其范围和精度能有多大？
以单精度浮点数 float 为例，它能表示的最大二进制数为 +1.1.11111…1 * 2^127（小数点后23个1），而二进制 1.11111…1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大数为 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表示范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。
它能表示的精度有多小呢？
float 能表示的最小二进制数为 0.0000….1（小数点后22个0，1个1），用十进制数表示就是 1/2^23。
用同样的方法可以算出，double 能表示的最大二进制数为 +1.111…111（小数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308，所以 double 能表示范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308。
double 的最小精度为：0.0000…1(51个0，1个1)，用十进制表示就是 1/2^52。
从这里可以看出，虽然浮点数的范围和精度也有限，但其范围和精度都已非常之大，所以在计算机中，对于小数的表示我们通常会使用浮点数来存储。
总结
这篇文章我们主要讲了数字的浮点数表示方式，总结如下：
浮点数一般用科学计数法表示把科学计数法中的变量，填充到固定 bit 中，即是浮点数的结果在浮点数提出的早期，各个计算机厂商各自制定自己的浮点数规则，导致不同厂商对于同一个数字的浮点数表示各不相同，在计算时还需要先进行转换才能进行计算后来 IEEE 组织提出了浮点数的标准，统一了浮点数的格式，并规定了单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double，从此以后各个计算机厂商统一了浮点数的格式，一直延续至今浮点数在表示小数时，由于十进制小数在转换为二进制时，存在无法精确转换的情况，而在固定 bit 的计算机中存储时会被截断，所以浮点数表示小数可能存在精度损失浮点数在表示一个数字时，其范围和精度非常大，所以我们平时使用的小数，在计算机中通常用浮点数来存储
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