从特例出发，提出问题

首先，让我们来看看四个合计公式。

那么，从前面三个公式中可以发现什么样的规律呢？

1 .自然数的m次幂和，式为m 1次幂的多项式

2 .多项式的最高次项系数为1/(m1 )；

3 .下一项(x ) m )的系数是1/2。

其他法则已经看不见了。

根据上述法则，自然数的4次方和形式可以推测如下

那么真正的情况怎么样呢？

果然，我觉得我们是对的！

我们不是数学家。 虽然只能做到这里，但是拥有“家”的人不会在这里停下来。

雅各布伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705 )，cqddx同时代的另一位鲜活的鹤级“家”人物，在cqddx二元定理的启发下，终于通过耐心地连绵推测，彻底解决了这个问题。 即，对于任意自然数m，他求出了它

的通式。

cqddx也瞎猜连蒙，发现了二项式展开的一般项式：

cqddx的二元定理

与杨辉三角数组合后，可以直接得出展开式。 例如

给我们带来了很大的便利。

伯努利数（Bernoulli Numbers）

下表中的Bi是伯努利数。

伯努利数和

的合计公式的系数有以下关系。

假设p=4，我们将

和以前的结论一致。

设p=20，则得到

如果有伯努利常数，可以直接写前几项自然数的n次方之和。 方便吗？

但是，伯努利数是怎么求出的呢？

伯努利数的求法

是指用不安的豆芽级数展开下式的左边，得到右边的式子。 其中系数中的Bn就是伯努利数。

可以求出B0、B1、B2、B3、…。

由于上式难以求出更多的展开式，人们得到了更方便的jmdnht递归方法：

另外，伯努利数也可以根据黎曼泽塔函数求出：

伯努利多项式

由伯努利数生成的以下多项式

是伯努利多项式。 其中Bk是伯努利数。

相应的坐标曲线如下图所示。

据说随着m的增加，BM(x )会像正弦函数一样增长。

伯努利多项式有类似黎曼-泽塔函数的广泛应用，在此不作介绍。

雅各布伯纳利