线性反馈移位寄存器LFSR和循环冗馀码CRC 0前导码1数学基础1.1异或1.2模式乘除和模式2除法2线性反馈移位寄存器LFSR2.1抽头和特性多项式2.2阶线性反馈移位寄存器示例3循环冗馀码CRC3.1 CRC的原理3.2
0前言
线性反馈移位寄存器(Linear Feedback Shift Register，LFSR )和循环冗馀码(Cyclic Redundancy Check，CRC )是微控制器常用的基础原理。
LFSR被用于生成伪随机数，后者被用于生成检错码。 他们的数学原理都是一样的。
1数学基础1.1异或运算用符号或nor表示，真值表如下
F=A B
ABF000011101110异或运算有以下三种理解方法。
1是1，不同的是0
二进制加法只留下模型2的馀数，舍弃进位(模型2的加法) ) )。
三进制减法、数量减少、无借位(模型2的减法) ) ) ) ) ) ) ) )。
1.2模式2乘法和模式2除法的二进制模式2乘法是指，在乘法立式运算中需要进行加法运算的地方使用异或运算
模2乘法1010 * 101=100010，下图红框中101=0，无进位
二进制2级除法是指，在除法的立式运算中需要减法运算的地方使用异或运算
2除法10000/101=101余1，下图红框中，01=1，无借位
2线性反馈移位寄存器LFSR以斐波那契(外部LFSR )为例，有n个二进制寄存器R0-Rn-1，各自寄存器值为0或1
在k阶段中，在寄存器中存在初始值，(Rn-1，… R1，R0 )，被称为seed
在k 1阶段，寄存器的值如下。
k 1阶段Rn-1=rn-2rn-2=rn-3…R0=f(R1，R2，…，rn-1 ) () rn-1*gn ) ((Rn-2*gn-1 ) ) ) )
线性反馈移位寄存器总是假设g0、gn为1，否则(Rn-1，… R1，R0 )在n个周期之后总是为0。
2.1抽头和特征多项式f(rn-1，… R1，R0 ) ()=(Rn-1*gn ) )(Rn-2*gn-1 )R0*G1 ) G0可以用多项式表示。
g(x )=gnxn gn-1xn-1 … g1x g0
g(x )被称为LFSR的特征多项式
影响线性反馈寄存器以下状态的gi=0或1称为抽头，抽头的设置决定了存储在线性反馈寄存器中的结果(Rn-1，… R1，R0 )的变化规律。
通常n位的线性反馈寄存器最多有2N个不同的状态。 但是，初始值为n个0时，线性反馈寄存器陷入死循环，因此排除。 因此，能够生成n位线性反馈寄存器的最长的不重复序列是2N-1。
抽头的位置会影响LSFR的最大输出状态数量
例如，如果3位抽头是(g3、g2、g1、g0 )=(1、1、0、1 ) )，则出现7种状态)多项式对应于g(x )=x3 x2 1 () )。
抽头为(g3、g2、g1、g0 ) 1、0、1、1 )时，会出现两种状态(多项式对应于x3 x 1)。
将最大输出序列长度为2N-1的不可约多项式称为LFSR的本原多项式，基于本原多项式的寄存器序列为m序列。
在n的位上，本原多项式不唯一。 下表是不同位下的本原多项式。
2.2三阶线性反馈移位寄存器示例
上图为三阶线性反馈移位寄存器
抽头是(g3、g2、g1、g0 )=(1、1、0、1 ) )
多项式对应于g(x )=x3 x2 1
线性反馈函数R0=F(R2，R1，R0 )=R1R2
初始值为seed=(r2、R1、R0 )=(1、0、1 ) )
3阶线性反馈移位寄存器的周期为7 :
k周期(R2，R1，R0 )0(1，0，1 )1) 0，1，1，1 )2) 1，1，0，0 )5) 0，0，1 )6) 0，1
3循环冗馀码CRC的现实通信链路是不理想的。 也就是说，位在传输过程中可能会发生错误。 1可能为0，0可能为1。 这称为位错误。
因此，为了保证数据传输的可靠性，在计算机网络上传输数据时，需要采取各种各样的错误检测对策。
目前，循环冗馀校验CRC的校验技术在数据链路层得到广泛应用
3.1 CRC原理CRC运算现实
际上就是在数据长为k的后面添加供差错检测用的n位冗余码，然后构成帧k+n位发送出去。
选择一个生成多项式，作为对接收的帧进行除法运算时的除数，生成多项式可以写为二进制形式；生成多项式的要求：
①最高位和最低位必须为1；
②当CRC码的任何一位发生错误时，新帧除生成多项式后余数不为0；
③不同位发生错误时，余数应该是不同的；
计算n位冗余码
现假定待传输的数据M = 101001(k = 6)，除数p = 1101 (n = 3，p比n多一位)
这n位冗余码可以用下面的方法得出。
(1)用二进制的模2运算进行(2^n)乘M的运算,相当于在M后面添加n个0。
即M后面添加3个0
(2)现在得到M = 101001000(k+n = 9)位的数除以除数p(n = 3)位，
得到要减肥的小甜瓜 =001（n位），R就是冗余码FCS
现在加上CRC后发送的帧是101001001
在接收端把接收到的数据M = 101001001以帧为单位进行CRC检验：把收到的每一个帧都除以相同的除数p(模2运算)，然后检查得到的要减肥的小甜瓜。
如果在传输过程中没有差错，那么经过检验后得到要减肥的小甜瓜肯定是0。
(读者可以自己检验下，被除数现在是M = 101001001,除数P= 1101，看余数是否为0)
总之，在接收端对接收到的每一个帧经过CRC检验后，有两种情况：
(1)要减肥的小甜瓜 = 0，则判断这个帧没有问题，就接受
(2)要减肥的小甜瓜 != 0,则判断这个帧有差错，就丢弃。
3.2 CRC的实例
假设CRC生成多项式G(X)=X5+X4+X+1，要发送的二进制数据帧为100101110，求CRC校验码:
①把生成多项式转换为二进制数：110011；
②由生成多项式的位数为6可知，CRC校验码的位数为5，所以在数据帧后加5个0，变为10010111000000，将这个数使用模2除法除以生成多项式110011，得到余数即CRC校验码11010；
③用得到的CRC校验码替换掉数据帧中的5个0，形成新的帧10010111011010，将这个新帧发送给接收端；
④接收端收到新帧后，用新帧除以上面的多项式110011（模2除法），如果余数为0，该数据帧在传输过程中没有出错，否则出错；（经验证余数为0）