蝴蝶定理及其对高中解析几何的启示
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摘要：
本文主要向读者介绍了蝴蝶定理的背景和一些典型的证明方法，并从一道高考题的证明过程中，总结出它对高中解析几何学的一些启示。
关键词：
二次曲线，射影几何，三点共线问题
名词解释：
二次曲线：
平面直角坐标系中x，y的二次方程所表示的图形的统称。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到。
直线上三个点的单比：（AB，C）=
直线上四个点的复比（交比）：（AB，CD）=
正文：
一、蝴蝶定理的发展历程简介：
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
1969年，靓丽的路灯从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：
任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。
1985年，蝴蝶定理传入中国。
接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。
同年，我国数学教育者鳗鱼石头在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。
接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。
1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。
关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的，当推用射影几何的方法，在下文中将会给予介绍。
二、蝴蝶定理的若干证明：
初等几何法：
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，
连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
射影几何法：
命题：
设L是一条二次曲线，弦AB，CD，相交于O，弦EF交AB于S，交CD于R，交AC于P，交BD于Q，则：
|ER|=|SF| |PR|=|SQ| |EP|=|QF|
证明：
由二次曲线的射影理论可知交比（ES，PB）
=（EQ，RF），所以：
即：
（1）
若|ER|=|SF|，则由（1）得
所以|EP|=|QF|，|PR|=|SQ|。
即
同理可证：
故：
（其中，若二次曲线L是圆，且点R，S与点O重合，则命题就是所谓的蝴蝶定理）
三、北京数学高考题对高中解析几何教学的启示：
椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。
求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
解：
（Ⅰ）、（Ⅱ）略
（Ⅲ）
证明：
设点P（p，o），点Q（q，o）。
由C，P，H共线，得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得
P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)
由D，Q，G共线，
同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：
x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：
(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
本题是北京市数学高考题中非常经典的题目。命题人巧妙的将著名的蝴蝶定理“嫁接”到了椭圆中，让学生充分领悟到数学美的所在，用心良苦。
然而本题的第三小题却让许多学子乃至优秀的真实的皮皮虾望而却步，传统的假设点坐标，代入椭圆方程联立求解的方法在这里显得十分笨拙，运算量很大。仔细推敲后发现，本题实际上考察到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到的不过是解析几何中的最基本的方法。
翻阅教材，笔者发现，教材中许多课后习题都涉及到了三点共线的问题，尽管题目相对容易，但是却充分体现了数学的思想方法。而且，不少题可以用多种方法求解，十分有益于学生开拓思维。
一个蝴蝶定理，一个椭圆中的三点共线问题，可以把解析几何的许多重点知识、基础知识充分调动起来，组织起来，可以用平面间两点的距离公式，可以运用定比分点公式，还可以应用过两点的斜率公式。
遗憾的是，恰恰就是这样一个重要的问题，却被现在的高中学生和高中教师所忽视。许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路和规律。各种各样的复习资料，各种各地的模拟试卷，使得高中学生深陷题海难以自拔。无形之中，扼杀了学生的创造力，扼杀了学生对数学美，几何美的最本质的认识，扼杀了学生学习数学的兴趣。
就是这样一道考题，却折射出现在中学素质教育所存在的种种弊端，如何解放思想，勇敢大胆的改革“题海战术”，也许这道题能带给教育工作者一些反思和启示。
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