一、引子 BIM（二元假设模型）
最近在优化文本相关性，使用到BM25和BM25F模型，但是发现网络上关于BM25和BM25F模型的介绍比较少，在此总结一下，方便记忆，另一方面搜了一下相关的资料，发现比较少，写下来欢迎大家查阅。
介绍BM25模型首先要介绍二元独立模型BIM。
假设一：二元假设
所谓二元假设，类似于布尔模型的表示方法，一篇文章在由特征表示的时候，以特征“出现”和“不出现”两种情况来表示，也可以理解为相关不相关。
假设二：词汇独立性假设
所谓独立性假设，是指文档里出现的单词之间没有任何关联，任一个单词在文章中的分布率不依赖于另一个单词是否出现，这个假设明显与事实不符，但是为了简化计算，很多地方需要做出独立性假设，这种假设是普遍的。
在以上两个假设的前提下，二元独立模型即可以对两个因子P(D|R)和P(D|NR)进行估算（条件概率），举个简单的例子，文档D中五个单词的出现情况如下：{1,0,1,0,1} 0表示不出现，1表示出现。用Pi表示第i个单词在相关文档中出现的概率，在已知相关文档集合的情况下，观察到文档D的概率为：
对于因子P(D|NR)，我们假设用Si表示第i个单词在在不相关文档集合中出现的概率，于是在已知不相关文档集合的情况下，观察到文档D的概率为：
于是我们可以得到下面的估算
可以将各个因子规划为两个部分，一部分是在文档D中出现的各个单词的概率乘积，另一部分是没在文档D中出现的各个单词的概率乘积，于是公式可以理解为下面的形式
对公式进行一下等价的变换，可得：
第一部分代表在文章中出现过的单词所计算得到的单词概率乘积，第二部分表示所有特征词计算得到单词概率乘积，它与具体的文档无关，所有文档该项的得分一致，所以在排序中不起作用，可以抹除掉。得到最终的估算公式：
为了方便计算，对上述公式两边取log，得到：
那么如何估算概率Si和Pi呢，如果给定用户查询，我们能确定哪些文档集合构成了相关文档集合，哪些文档构成了不相关文档集合，那么就可以用如下的数据对概率进行估算：
根据上表可以计算出Pi和Si的概率估值，为了避免log（0），对估值公式进行平滑操作，分子+0.5，分母+1.0
代入估值公式得到：
这个公式代表的含义就是，对于同时出现在查询Q和文档D中的单词，累加每个单词的估值结果就是文档D和查询Q的相关性度量，在预先不知道哪些文档相关哪些文档不相关的情况下，可以使用固定值代替，这种情况下该公式等价于向量空间模型（VSM）中的IDF因子，实际证明该模型的实际使用结果不好，但是它是BM25模型的基础。
二、BM25模型
BIM（二元假设模型）对于单词特征，只考虑单词是否在doc中出现过，并没有考虑单词本身的相关特征，BM25在BIM的基础上引入单词在查询中的权值，单词在doc中的权值，以及一些经验参数，所以BM25在实际应用中效果要远远好于BIM模型。
BM25由3部分组成，第一部分是BIM模型得分，上面也提到了，在一定的情况下该部分等价于IDF，第二部分是查询词在文档D中的权值，f是查询词在文档中的频率，K1和K是经验参数，第三部分是查询词自身的特征，qf是查询词在用户查询中的频率，但一般用户查询都比较短，qf一般是1，K2是经验参数，从上面的公式可以看出BM25是查询中单词的分值叠加得到，每个单词是一个个体，而整个文档被作为一个整体。
在第二部分中K因子代表了文档长度的考虑，dl是文档的长度，avdl是文档的平均长度，k1和b是调整参数，b为0时即不考虑文档长度的影响，经验表明b=0.75左右效果比较好。但是也要根据相应的场景进行调整。b越大对文档长度的惩罚越大，k1因子用于调整词频，极限情况下k1=0，则第二部分退化成1，及词频特征失效，可以证明k1越大词频的作用越大。
在我们不知道哪些文档相关，哪些文档不相关的情况下，将相关文档数R及包含查询词相关文档数r设为0，那么第一部分的BIM公式退化成：
就是IDF因子的定义，N是总文档数，n是查询词的tf信息，0.5是平滑因子。以上就是BM25的定义
三、BM25F
BM25F是典型BM25的改进算法，BM25在计算相关性时把文档当做整体来考虑，但随着搜索技术的发展，文档慢慢的被结构化数据所代替，没个文档都会被切分成多个独立的域，尤其是垂直化的搜索。例如网页有可能被切分成标题，内容，主题词等域，这些域对文章主题的贡献不能同等对待，所以权重就要有所偏重，BM25没有考虑这点，所以BM25F在此基础上做了一些改进，就是不再单单的将单词作为个体考虑，而且将文档也按照field划分为个体二考虑，所以BM25F是每个单词在各个field中分值的加权求和。
boost是相应域的权值，Lc是field的长度，AVLc是field的平均长度，Bc是调节因子。最后BM25F的最终值就是各个field分值的加权求和。
引用：淡淡的铃铛《这就是搜索引擎》
Integrating the Probabilistic Model BM25/BM25F into Lucene.