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一个

e是一个重要的常数，但我从来不知道它真正的含义。

不像。众所周知，代表3.14159圆的周长与直径之比，但如果我问你，E代表什么？你能回答吗？

维基百科说：

e是自然对数的底数。’

然而，当你看“自然对数”时，你得到的解释是：

自然对数是基于E的对数函数，E是无理数，约为2.718281828。’

这构成了一个循环定义，根本没有说E是什么。数学家选择这样一个无理数作为基数，声称对数是‘自然’的，这难道不奇怪吗？

2

曾经看过一篇很好的文章，把这个问题解释的很清楚，一目了然。

上面写着，E是什么？简单来说，e是增长的极限。

这是它的解释。

三

假设有一个单细胞生物，每24小时分裂一次。

所以很明显，这种生物的数量每天都在翻倍。今天一个，明天两个，后天四个。我们可以写出一个增加数量的公式：

公式中的x表示天数。这些生物在x天内的总数是2的x次方。该公式可以更改为以下内容：

其中，1代表原始数量，100%代表单位时间增长率。

四

我们继续假设每12个小时，也就是分裂中期，新产生的半个细胞可以再次分裂。

因此，一天24小时可以分为两个阶段，每个阶段在前一阶段的基础上增加50%。

一天下来，我们总共得到了2.25个细胞。其中一个是原装的，一个是hxdyj的，另外0.25是hxdyj细胞分成两半的。

如果我们继续修正假设，这个细胞每八小时就有独立分裂的能力，也就是一天分为三个阶段。

然后，最后，我们可以得到大约2.37个细胞。

自然，如果我们进一步想象这种分裂是连续的，hxdyj细胞每分钟都有继续分裂的能力，我们一天最多能得到多少个细胞？

当n趋于无穷大时，这个公式的极值等于2.718281828。

因此，当增长率为100%时，我们单位时间最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数叫做E，意思是单位时间内连续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，所以基于e的对数称为自然对数。

五

有了这个值，计算银行的复利就非常容易了。

假设有一家银行的复利是每年100%。一年后存100元能拿多少？

答案是271.828元，等于100 E。

然而，在现实生活中，银行的利率并没有那么高。如果利率只有5%，他存一年100元能拿到多少钱？

为了思考，我们把n当成50:

我们知道，在100%利率的条件下，n=1000得到的值非常接近E:

因此，5%的利率等于E的20次方：

二十分之一正好等于5%的利率，所以我们可以把公式改写如下：

公式上的比率代表增长率。这表明，只要是连续的复合增长，E可以用来计算任何增长率。

六

考虑到时间因素，把钱存在银行两年能拿到多少钱？

在时间t，通式为：

上述公式是计算增长的通用公式，可适用于任何时间和任何增长率。

七

回到上面的例子，如果银行的利率是5%的复利，100元的存款翻倍需要多长时间？

计算结果为13.86年：

等式中最后一个等号表示72除以增长率可以得到翻倍的大概时间，这就是72法则的来源。

—结束—

本文由超级数学建模编辑。

本文来自阮一峰的博客。

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