# #数学自然底数e是怎么来的#

e (也称为欧拉数的自然常数) )是自然对数函数的底数。它是数学中最重要的常数之一，是无理数，和一样是无限不循环小数，在小数点后面是无限的，永远不重复……。

以下是e的2999位有效数字。请注意不同的位数。我用不同的颜色表示了。有规则吗？还是随机的？

与我们熟知的两个无理数圆周率和2不同，它不是数学家从几何问题中发现的，而是来自金融问题，是表示增长率和变化率的常数，在许多增长和衰减的过程中出现了e的样子。

为什么会和增长率有关系呢？回到17世纪，让我们来看看发现e的第一人——瑞士数学家雅各布伯努利和他研究的这家银行的利率问题

伯努利家族的数学家和欧拉

e 与复利问题

雅各布伯努利在研究复利时，发现了：这一有趣的现象。假设银行里存着1元本金，银行提供的年利率是100%。这样的话，一年后带到书里，你会得到两块钱。这个很容易理解。

那么，现在考虑改变利息周期吧。如果每半年计算一次利息，一半的年利率为50%。这样，下半年新获得的利息也同样可以生存。这样，方案的最终收益必须比以前好，如何计算最终收益需要使用复利式。

让我来解释一下上面的复利公式。财富值(Fv )是指财富在未来的价值。 PV(presentvalue )是指现值，即本金； I(interest )指期间内的固定利率或固定收益率，n为累计期间。现在，如果正式直接导入的话，就可以计算出一年后的收益。

这样一年后好像总共能拿到2.25美元。嗯，好像还不如只算一次利息。那么，如果现在把利率周期计算得更短会怎么样呢？如果每月结算一次呢？这样，月利率为1/12，上面的复利公式只需要稍微改变一下，最终计算下来大约是2.61304元，这个方案还会变好。

我们可以看到这样的规律。利息周期越短，一年后利润越好。那么，继续缩短利息周期，每周计算吧。这样的话，一年可以计算52次利息。

回报持续增加，我们也可以每天计算利息，或者按半天、小时、分钟、秒计算。当然年末获得的利润也会继续增加。但是xrpdyc发现随着n的无限，这样的连续复利是有限的，神秘的数学常数出现在了：上

关于上式的极限值会是多少呢？

伯努利知道会是2~3之间的数字，试了很久。但是，很遗憾他没有计算.这个问题是50年后，1748年瑞士数学家莱昂哈德欧拉用下面的公式计算了e的小数点后18位的2.718281828459045235 .这就是表示增长率的自然常数e的由来。

e 是无理数

欧拉不仅计算出了e的18位数，而且以连分式的形式证明了e是无理数。下面的图片是e的小数点后21位的分数形式，可以看到最左侧是1、1、4、1、1、6、1、8、1、10、1、12……。

找到法则了吗？如果取e的小数点后无限位，这样连分数展开式就满足了这样一个有趣的模式，这就意味着它是无理数。

既然提到了e，通常会提到让所有著名常数出现在同一方程-欧拉恒等式(Euler’s identity )中，被美国物理学家mgdhk称为最美的数学表达式。因为这个等式把数学上最基本、最重要的五个常数如此巧妙地联系在一起。

我想在别的文章中介绍一下这个式子是如何出现的。