数学思维
数学思想是人们对数学理论和内容的本质认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者本质相同，区别只是站在不同的角度看问题。 经常与“数学思想方法”混淆。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；
函数和方程
函数思想是运用函数的概念和性质分析问题，转化问题，解决问题。 方程的思路是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，再通过求解方程(组)或不等式)组来解决问题。 有时实现函数和方程的相互转换、合并，达到解决问题的目的。
笛卡尔方程的思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。 宇宙充满了等式和不等式。 我知道哪里有方程，哪里有方程； 有公式的地方有方程式； 评价问题通过求解方程实现……等不等式问题也与方程密切相关。 列方程、解方程、研究方程的特性在应用方程思想时需要重点考虑。
函数描述自然界中数量之间的关系，函数思想提出问题的数学特征，通过建立函数关系型数学模型进行研究。 它体现了“联系与变化”的辩证唯物主义观点。 一般来说，函数思想是通过构造函数利用函数的性质来解决问题的，常用的性质有f(x )、f )的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练的是一次函数、二次函数在解题中，善于挖掘问题中的隐含条件，构建函数的解析表达式和巧妙函数的性质，是应用函数思想的关键。 在对给定问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面的情况下，从此可以产生与他的联系，构建函数的原型。 另外，方程问题、不等式问题和一些代数问题也可以转化为与之相关的函数问题。 也就是说，用函数思想求解非函数问题。
函数知识知识点多、涉及面广，在概念、应用、理解上有一定要求，是高考考察的重点。 我们应用函数思想的一些常见题型是遇到变量，建立函数关系求解问题； 的不等式、方程、最小值和最大值等问题，用函数的观点进行分析； 在包含多个变量的数学问题中，选择合适的主变量，明确其中的函数关系； 在实际应用问题、翻译成数学语言、建立数学模型和函数关系式、应用函数性质和不等式等知识解答的等差、等比数列中，一般项公式、前n项之和公式，都可以看作n的函数，数列问题也可以用函数法求解。
等效变换
等价变换是将未知解的问题变换为能够在现有知识范围内求解的问题的重要想法。 通过继续转换，将不习惯、不规范、复杂的问题转化为习惯、规范、甚至模式法、简单的问题。 在多年的高考中，等价转换思想随处可见。 我们要不断培养和训练自觉的转化意识。 它有助于加强在解决数学问题中的应对能力，提高思维能力、技能、技术。 变换有等价变换和非等价变换。 为了保证转换后的结果是原始问题的结果，等效转换要求充分需要转换过程中的前因结果。 非等价变换过程是充分或必要的，对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验证根)，可以带来思维的闪光，找到解决问题的突破口。 我们在应用时一定要注意转化等价性和非等价性的不同要求，在实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑正确。
著名数学家、莫斯科大学教授听话的黄蜂在向数学奥林匹克参加者发表《什么叫解题》演讲时表示：“做题，就是把需要做的问题变成已经解决的问题。” 数学解题过程是从未知到已知、从复杂到简单的转换过程。
等效改变思想方法的特点是具有灵活性和多样性。 应用等价变换的思路解决数学问题时，没有统一的模型。 可以在数与数、形与形、数与形之间转换； 在分析和解决实际问题的过程中，可以进行从普通语言到数学语言的翻译等宏观等效变换； 这可以在编码系统内部实施变换，即所谓的恒等变形。 消去法、换元法、数形结合法、评价范围问题等体现了等价变换思想，我们往往在函数、方程、不等式之间进行等价变换。 可以说等价变换是将恒等变形在代数方面的变形上升到命题的真伪保持一定为止。 由于其多样性和灵活性，我们必须合理设计转变的途径和方法，避免出现硬套型问题。
在数学操作中实施等价变换时，必须遵循熟悉化、简单化、直感化、标准化的原则，把我们面临的问题通过变换变成我们比较熟悉的问题，或者超越式到代数式、无理式到有理式、分式到整式…等等例如，数形结合法或非标准型向标准型的转换。 根据这些原则进行数学操作，可以节约转换过程的时间和精力，像浮在水上的船一样，经常渗透等价转换思想，提高解决问题的水平和能力。
把讨论分类
在解一些数学题的时候，你可能会遇到很多情况。 需要对各种情况进行分类，按分类求解。 然后，综合求解的是分类讨论法。 分类讨论既是逻辑方法，又是重要的数学思想，同时又是重要的解题策略，体现了化整零、积零为整的思想和分类整理的方法。 归类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能够训练人的思维条理性和概括性，因此在高考试题中占有重要地位。
引起分类讨论的原因主要有以下几个方面。
提问相关的数学概念分类界定。 例如|a|的定义分为a0、a=0、a0三
种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
数形结合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
爱听歌的毛衣曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。yydmf先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。