圆的基本性质
圆的概念
例子
连接圆上任意两点的线段称为弦，穿过圆心的弦称为直径。圆上任意两点之间的部分称为弧，简称弧。端点为A和B的弧表示为AB，发音为“弧AB”或“弧AB”。圆的任意直径的两个端点将圆分成两个圆弧，每个圆弧称为半圆。大于半圆的弧称为最优弧(用三点表示)；小于半圆的弧称为下弧(用两个点表示)。
两个可以重合的圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；同一个圆或等圆的半径相等。在同一个圆或等圆中，可以相互重叠的圆弧称为等圆弧。
垂直直径定理：垂直平角的直径平分弦，平分弦对面的两个圆弧。
将弦(而不是直径)垂直分成平坦的角，并分割弦对着的两个弧。
顶点位于圆心的角称为中心角。
定理：在同一个圆或等圆中，等中心角的弧与弦相等。
在同一个圆或等圆中，如果两个弧相等，那么它们面对的中心角相等，它们面对的弦相等；
在同一个圆或等圆中，如果两个弦相等，那么它们面对的中心角相等，它们面对的圆弧相等。
顶点在圆上且两边与圆相交的角度称为圆周角。
圆周角
圆周角定理
圆角定理：圆弧的圆角等于它对着的中心角的一半。
同一圆弧或等圆弧的圆周角相等。
半圆(或直径)的圆周角是直角，90度圆周角的弦是直径。
例子
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆内，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
内接四边形的中间角之间的关系
利用圆周角定理得到了内接四边形的一个性质。圆内接四边形的对角互补。
点、线和圆之间的位置关系
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
一两点不能决定一个圆。
在不在同一条直线上的三个点上确定一个圆。
不在同一条线上的三个点定义了一个圆。
假设命题的结论是无效的(即假设通过同一直线上的三个点可以做一个圆)，通过推理得出矛盾，用矛盾确定所做的假设是不正确的，从而得出原命题的有效性的方法，叫做反证法。
通过三角形的三个顶点可以构成一个圆。这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的中心是三角形三条边的垂直平分线的交点，称为三角形的外中心。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
直线与圆有两个共同点，即直线与圆相交，这条直线称为圆的割线；直线和圆只有一个公共点，那就是直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线。
共点叫做切点；直线和圆没有公共点，即直线和圆相离。
直线l和⊙O相交↔d<r ; 直线l和⊙O相切↔d=r ；直线l和⊙O相离↔d>r。
切线的判定正理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(圆的切线垂直于过切点的半径)
生活中的圆与切线
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。
圆外一点所作的两条切线的关系
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
内切圆例题
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
两个圆没有公共点: 相离，图(1)叫做外离，图(5)(6)叫做内含，(6)中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况。
2. 两个圆只有一个公共点: 相切，如图(2)叫做外切，图(4)叫做内切。
两个圆有两个公共点: 相交，如图(3)所示。
圆与正多边形
圆周率π
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于 3(10/71）和 3(1/7）之间。我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，并指出在圆的内接正多边形加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。他计算出π≈157/50≈3.14。南朝的祖冲之又进一步求得π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人。
弧长和扇形面积
弧长
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
扇形的面积
圆锥的侧面积与全面积
圆知识的复习
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内切圆例题
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
两个圆没有公共点: 相离，图(1)叫做外离，图(5)(6)叫做内含，(6)中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况。
2. 两个圆只有一个公共点: 相切，如图(2)叫做外切，图(4)叫做内切。
两个圆有两个公共点: 相交，如图(3)所示。
圆与正多边形
圆周率π
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于 3(10/71）和 3(1/7）之间。我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，并指出在圆的内接正多边形加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。他计算出π≈157/50≈3.14。南朝的祖冲之又进一步求得π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人。
弧长和扇形面积
弧长
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
扇形的面积
圆锥的侧面积与全面积
圆知识的复习