最初是从高中数学选修4-5偶然看到伯努利不等式，但是书中整数次幕的形式，后来百度发现
原来伯努利不等式还可以推广到实数幕的形式以及一般形式；
既然看到就想办法证明岂能这么糊涂的就相信它的正确性，但是用普通方法根本无法证明，实
在头疼，被迫自学导数，之后整理出来方便大家学习和参考。
伯努利不等式是说：
当x＞-1时有
① (1+x)^n ≥ 1+nx (n≤0 或 n≥1)
② (1+x)^n ≤ 1+nx (0 ≤ n ≤ 1)
下面是伯努利不等式的一般形式：
③(1+x1)(1+x2)……(1+xn) ≥ 1 + x1 + x2 + …… + xn (xi ≥ 0 或 -1＜xi＜0 ，n∈N+)
对不等式①②的证明如下：
构建函数 y = f(n) = (1+x)^n – (1+nx)；(x＞-1 且 x≠0)
则f'(n) = (1+x)^n * ln(1+x) – x
再次求函数f(n)的二阶导数
则f”(n) = (1+x)^n * ( ln(1+x) )^2
不难发现 当 1+x ＞ 0时 函数f(n)的二阶导数恒大于0，因此函数f(n)是凹函数；
又因为当 n=0 和 n=1时 是函数的两个零点，我们可以勾勒出函数的大概图像是经过0,0与1,0两点的凹函数；
因此有
当 n＜0时y＞0 故(1+x)^n ＞ 1+nx
当 n＞1时y＞0 故(1+x)^n ＞ 1+nx
当0＜n＜1时y＜0 故(1+x)^n ＜ 1+nx
因此不等式①②得证，当n=0或n=1 或 x=0时等号成立
③伯努利不等式一般形式的证明：
当n=1时不等式显然成立 1 + x=1 + x;
当n=2时 不等式为(1+x1)(1+x2)≥1 + x1 + x2
我们用作差法证明当n=2的情况 (1+x1)(1+x2) – (1 + x1 + x2)
=1 + x1 + x2 +x1*x2 – 1 – x1 – x2
=x1*x2 ≥ 0 故当n=2时命题成立
假设当n ≥ 2时命题都成立
则当n = n+1时
(1+x1)(1+x2)……(1+xn) (1+x[n+1]) 注：[n+1]为下标
= (1+x1)(1+x2)……(1+xn) + x[n+1] *(1+x1)(1+x2)……(1+xn)
≥(1 + x1 + x2 + …… + xn) + x[n+1] *(1+x1)(1+x2)……(1+xn)
接下来考虑x[n+1] *(1+x1)(1+x2)……(1+xn)
当-1＜xi＜0时x[n+1] *(1+x1)(1+x2)……(1+xn) ＞x[n+1]
当xi≥0时 x[n+1] *(1+x1)(1+x2)……(1+xn)≥x[n+1]
综上考虑有
(1+x1)(1+x2)……(1+xn) (1+x[n+1]) ≥ 1 + x1 + x2 + …… + xn + x[n+1]
当n=1时 或 xi中最多有一个不为0的项等号成立
则当n=n+1时命题仍然成立
得证