二选一的话，最好是用GTX1660
先来分析你的实际需求和电脑状况，浏览器和网页多开，这个主要是占用内存大，小型网游主要是吃CPU，这些要求对的你的E3和16G内存来说妥妥的。
命令与征服的游戏我没玩过，官方只给了最低运行要求，没什么参考性，按你说的开了特效帧数低，那就是显卡跟不上需求。
SATA硬盘已选，这个没啥问题，对于现在的电脑来说是刚需，能够提高运行效率。安装的时候要注意，你的微型P67主板有SATAII和SATAIII两种接口，只有安装在SATAIII上面才能发挥固态硬盘的最大性能。
辨认方法也很简单，主板有四个黑色接口，那个不要用，另外两个白色的才对，上面写着SATA 6Gb/S就是，这两个任选一个就行。
最后就是显卡的选择，我的建议是GTX1660，理由如下
性能
1660是今年上半年发布的型号，是用来取代1060的产品，属于新一代甜品级显卡，它的具体可以在图中参考
理论性能比RX590还略强一些，而且英伟达的优化很到位，实际的游戏体验更好。
RX580是去年七月上市的AMD显卡，从实际参数来看依然是RX480的马甲，不过最高有8G的显存。性能上低于RX590，也不如1660。
既然是换显卡，自然是性能更好，更新系列的产品。
功耗
旧机器升级的要点是功耗，如果升级之后超过了电源的功率，会造成不稳定甚至开了不机。
我去查了一下，原来题主用的RX560Ti和R7 260的实测最大功耗是120W和115W，那么升级后的显卡功耗最好在这个数值附近，不然电源承受不住。
从这一点来说也是1660更合适，它的公版功耗是120W，非公的高一些，也就是130W，基本上和原来显卡的水平相当。
而580则不同，功耗控制一直是AMD的弱项，这个型号的显卡TDP是185W，满载实测能干到200W，比原来的真高出了不少。
在显卡显卡的宣传上官方推荐使用550W电源，题主原来的电源应该达不到，而且已经过去了8年，随着老化电源的实际功率还会下降一些。
而且题主说过，一般电脑四五天不关机，很显然功耗上来看也是1660合适。
价格
价格上反而是RX580更便宜，我查了一下，在京东自营上，同样是华硕品牌，1660比580要贵410元。这一数字是我在手机上实时查询的，基本能代表两者的差价。
不过1660价格贵是因为性能强，不是平白无故的多花钱，反过来也一样，580便宜但是性能弱。
还要考虑RX580价格虽低，但是有可能需要再换一块500W以上的电源，这样的电源便宜些也要两三百，这样算下来总共和1660的差距也没几个钱了。
从上面几个方面来看，觉得GTX1660比RX580更合适。
其它选择
选择显卡除了以上几个方面，还要看和其它的配置搭不搭，你的CPU是E3-1230，性能基本和现在的i3 9100F差不多，我个人觉得上一个GTX1060 6G也很合适。
它的游戏表现和价格基本和RX580相当，功耗同样是120W，在你的电脑上很合适，是个不错的选择。
你的配置我看了一下。首先你要增加一块固态硬盘 240G固态价格大概在180左右。其次如果换显卡，我个人比较倾向于n卡。因为我觉得稳定，n卡你这个机器如果买全新的 性价比高就是一块二手1060-6G 如果要全新的就选1660-1660ti牌子么自己选，如果说差不多的我建议980ti 性能超1060-6G 跟1070差不多 价格和1060-6G也差不多 二手价格大概在1000-1100 如果在保的箱说全 可能要1200 反正最高不会超过1200 全部下来大概1400加固态 能让你机器再战3-5年
个人建议上丽台p620，价格才1000多一点。毕竟你主要用于办公方面，丽台你值得拥有 然后加多一个三星固态硬盘。
建议rx590，和580价格差不了多少，但是是12纳米的。记得买2304sp版本的。1063的价格，1660的性能。而且我和你差不多，我是e3 1231的平台。我用的就是590，很爽。