高等数学（下）知识点总结

期末，总结一下高数下的知识点
第八章，第九章见上一篇博客

文章目录

• 高等数学（下）知识点总结
• • 第八章_空间解析几何和向量代数
  • 第九章_多元函数微分法及其应用
  • 第十章_重积分
  • • 10.1 重积分概念
    • 10.2二重积分的计算
    • 10.3三重积分的计算
    • 注意事项（重积分计算小结）
    • 10.4重积分的应用
  • 第十一章_几类特殊的积分
  • • 11.1对弧长的曲线积分
    • 11.2对坐标的曲线积分
    • 11.3格林公式
    • 11.4对面积的曲面积分
    • 11.5对坐标的曲面积分
    • 11.6高斯公司&斯托克斯公式
  • 第十二章_无穷级数
  • • 12.1常数项级数
    • 12.2交错级数
    • 12.3幂级数
    • 12.4傅里叶级数

第八章_空间解析几何和向量代数

第九章_多元函数微分法及其应用

第十章_重积分

这一部分计算方法不细说，学过应该有影响，仅强调关键词（点）

10.1 重积分概念

1、引出：曲顶柱体的体积

1）分割：将曲顶柱体的底$D$划分为$n$小份ΔDi\Delta D_iΔDi​，然后以$n$个底将曲顶柱体划分为$n$个小曲顶柱体ΔVi\Delta V_iΔVi​
2）近似：∀(ξi,ηi)∈ΔDi\forall(\xi_i,\eta_i)\in\Delta D_i∀(ξi​,ηi​)∈ΔDi​，以该点对应的高作为转化为平顶柱体的高（即此时的柱体体积近似表示为真实体积）
3）求和：V=∑i=1nΔVi≈∑i=1nf(ξi,ηi)ΔσiV = \sum^{n}_{i = 1}\Delta V_i\approx \sum^{n}_{i = 1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_iV=∑i=1n​ΔVi​≈∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​
4）取极限：λ=max⁡{di}\lambda = \max \{d_i\}λ=max{di​}（did_idi​表示分割后底的直径）
V=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)ΔσiV = \lim_{\lambda \to 0}\sum^{n}_{i = 1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_iV=limλ→0​∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​

2、平面薄板的质量
1）分割
2）近似
3）求和
4）取极限

3、定义：设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数，将闭区域$D$任意分成$n$份小区域ΔD1,ΔD,⋯ΔDn\Delta D_1,\Delta D,\cdots \Delta D_nΔD1​,ΔD,⋯ΔDn​设Δσk\Delta \sigma_kΔσk​表示$k$个小区域ΔDk\Delta D_kΔDk​的面积，在每个ΔDk\Delta D_kΔDk​上任取一点(ξk,ηk)∈ΔDk(\xi_k,\eta_k)\in\Delta D_k(ξk​,ηk​)∈ΔDk​，做乘积f(ξk,ηk)Δσkf(\xi_k,\eta_k)\Delta \sigma_kf(ξk​,ηk​)Δσk​，并作和∑k=1nf(ξk,ηk)Δσk\sum^{n}_{k=1}f(\xi_k,\eta_k)\Delta \sigma_k∑k=1n​f(ξk​,ηk​)Δσk​，如果当个小闭区域的直径中的最大值$\lambda$趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y)$闭区域$D$上的二重积分。
记作：∬Df(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑k=1nf(ξk,ηk)Δσk\iint_Df(x,y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum^{n}_{k=1}f(\xi_k,\eta_k)\Delta \sigma_k∬D​f(x,y)dσ=limλ→0​∑k=1n​f(ξk​,ηk​)Δσk​

4、二重积分的几何意义
类比定积分，表示对应曲顶柱体体积等

5、存在性定理
1）若函数在有界闭区域D上连续则函数在D上可积
2）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续

6、二（三）重积分的性质
1）线性性
2）区域可加性
3）保序性
4）估值性
5）中值性
6）对称性（最常用的性质，在计算二重积分前先考虑对称性，但切忌滥用）

10.2二重积分的计算

1）直角坐标
先x后y or 先y后x
2）极坐标
$d\sigma =\rho d\rho d\theta$

10.3三重积分的计算

1）直角坐标
投影法（先一后二） or 截面法（先二后一）【有时不适用，关键时候有用，一般情况不推荐】
2）柱坐标（个人直观感受：直角坐标+极坐标）
【本质上还是先一后二】
$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
$z=z$
$dv=\rho d\rho d\theta dz$
3）球坐标（不常用，但对于球体计算十分简单）

$x=rsin\theta cos\phi$
$y=rsin\theta sin\phi$
$z=rcos\theta$
dv=r2sinφdφdθdrdv = r^2 sin\varphi d\varphi d\theta drdv=r2sinφdφdθdr

注意事项（重积分计算小结）

10.4重积分的应用

1、曲面的面积
A=∬D1+fx2+fy2dσA = \iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigmaA=∬D​1+fx2​+fy2​​dσ

2、物体的质心
x‾=MxM=∬Dxμdσ∬Dμdσ\overline{x} = \frac{M_x}{M} = \frac{\iint_Dx\mu d\sigma}{\iint_D\mu d\sigma}x=MMx​​=∬D​μdσ∬D​xμdσ​(M表示力矩)
y‾=MyM=∬Dyμdσ∬Dμdσ\overline{y} = \frac{M_y}{M} = \frac{\iint_Dy\mu d\sigma}{\iint_D\mu d\sigma}y​=MMy​​=∬D​μdσ∬D​yμdσ​
（形心）：
x‾=∬DxdσA\overline{x} = \frac{\iint_Dxd\sigma}{A}x=A∬D​xdσ​
y‾=∬DydσA\overline{y} = \frac{\iint_Dyd\sigma}{A}y​=A∬D​ydσ​
形心公式在计算积分是常可以巧妙的起到简化运算的作用，需重视！

3、物体的转动惯量
Ix=∬Dy2μdσI_x = \iint_Dy_2\mu d\sigmaIx​=∬D​y2​μdσ
Iy=∬Dx2μdσI_y = \iint_Dx_2\mu d\sigmaIy​=∬D​x2​μdσ

Ix=∭D(y2+z2)μdvI_x = \iiint_D(y_2+z^2)\mu dvIx​=∭D​(y2​+z2)μdv
Iy=∭D(x2+z2)μdvI_y = \iiint_D(x_2+z^2)\mu dvIy​=∭D​(x2​+z2)μdv
Iz=∭D(y2+x2)μdvI_z = \iiint_D(y_2+x^2)\mu dvIz​=∭D​(y2​+x2)μdv

4、物体的引力(不常用)
r=(x−x0,y−x0,z−z0)r = (x-x_0,y-x_0,z-z_0)r=(x−x0​,y−x0​,z−z0​)
F=∭ΩdF=(G∭Ωμ(x−x0)r3dv,G∭Ωμ(y−y0)r3dv,G∭Ωμ(z−z0)r3dvF = \iiint_\Omega dF =(G\iiint_\Omega \frac{\mu(x-x_0)}{r^3}dv,G\iiint_\Omega \frac{\mu(y-y_0)}{r^3}dv,G\iiint_\Omega \frac{\mu(z-z_0)}{r^3}dvF=∭Ω​dF=(G∭Ω​r3μ(x−x0​)​dv,G∭Ω​r3μ(y−y0​)​dv,G∭Ω​r3μ(z−z0​)​dv

5、立体体积
V=∬Df(x,y)dxdyV = \iint_Df(x,y)dxdyV=∬D​f(x,y)dxdy
V=∭Ωf(x,y,z)dxdydzV = \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydzV=∭Ω​f(x,y,z)dxdydz

第十一章_几类特殊的积分

本章的重点在计算方法上，对于定义适当参考即可

11.1对弧长的曲线积分

1、概念和性质
1）∫Γf(x,y,z)ds=lim⁡λ→0∑k=1nf(ξk,ηk,ζk)Δsk\int_\Gamma f(x,y,z)ds = \lim_{\lambda \to 0}\sum^{n}_{k=1}{f(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta s_k}∫Γ​f(x,y,z)ds=limλ→0​∑k=1n​f(ξk​,ηk​,ζk​)Δsk​
2）存在性条件
$f(x,y,z)$在曲线$\Gamma$上连续，则∫Γf(x,y,z)ds\int_\Gamma f(x,y,z)ds∫Γ​f(x,y,z)ds一定存在
3）几何意义
∫Γds=l\int_\Gamma ds = l∫Γ​ds=l（$l$为曲线$\Gamma$的长度）
4）曲线积分的性质
线性性 可加性 保序性 估值性 中值性 对称性 与方向无关性

2、计算方法
定理：设$f(x,y)$在曲线弧上有定义且连续，$L$的参数方程为$x=\phi (t),y=\psi (t)$，若$\phi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有一阶连续导数，且φ(t)′2+ψ(t)′2≠0\varphi(t)'^2+\psi(t)'^2 \neq 0φ(t)′2+ψ(t)′2​=0则曲线积分∫Γf(x,y)ds\int_\Gamma f(x,y)ds∫Γ​f(x,y)ds存在，且∫Γf(x,y,z)ds=∫αβf(ϕ(t),ψ(t))φ(t)′2+ψ(t)′2dt\int_\Gamma f(x,y,z)ds =\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi(t)'^2+\psi(t)'^2}dt∫Γ​f(x,y,z)ds=∫αβ​f(ϕ(t),ψ(t))φ(t)′2+ψ(t)′2​dt
若$L$由方程$\rho =\rho (x)$或$x=\rho (\theta )cos\theta ,y=\rho (\theta )sin\theta$，则∫Γf(x,y,z)ds=∫αβf(ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ)ρ(θ)2+ρ(θ)′2dθ\int_\Gamma f(x,y,z)ds =\int_{\alpha}^{\beta}f(\rho(\theta)cos\theta, \rho(\theta)sin\theta)\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho(\theta)'^2}d\theta∫Γ​f(x,y,z)ds=∫αβ​f(ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ)ρ(θ)2+ρ(θ)′2​dθ
若由方程$y=y(x)(a\le x\le b)$，则∫Lf(x,y)ds=∫abf(x,y(x))1+y(x)′2dx\int_{L}f(x,y)ds =\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y(x)'^2}dx∫L​f(x,y)ds=∫ab​f(x,y(x))1+y(x)′2​dx

11.2对坐标的曲线积分

1、概念和性质
1）
2）存在条件
函数$P(x,y),Q(x,y)$是被积函数，他们在光滑曲线弧$L$上连续时，第二类曲线积分存在
3）物理意义
因该类曲线积分存在方向，可参考力的做功理解
4）性质
线性性 可加性 方向性

2 、计算方法
定理：设$P(x,y),Q(x,y)(x,y)\in L$连续，有向光滑曲线弧$L:x=\varphi (t),y=\psi (t),t:\alpha \to \beta$若$\varphi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$或$[\beta ,\alpha ]$上具有一阶连续导数，且φ(t)′2+ψ(t)′2≠0\varphi(t)'^2+\psi(t)'^2 \neq 0φ(t)′2+ψ(t)′2​=0，则对坐标的曲线积分存在，且∫LP(x,y)dx=∫αβP(ϕ(t),ψ(t))ϕ(t)′dt\int_LP(x,y)dx = \int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\phi(t)'dt∫L​P(x,y)dx=∫αβ​P(ϕ(t),ψ(t))ϕ(t)′dt即，∫LF(x,y)dr=∫αβP(ϕ(t),ψ(t))ϕ(t)′+∫αβQ(ϕ(t),ψ(t))ψ(t)′dt\int_LF(x,y)dr = \int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\phi(t)' + \int_{\alpha}^{\beta}Q(\phi(t),\psi(t))\psi(t)' dt∫L​F(x,y)dr=∫αβ​P(ϕ(t),ψ(t))ϕ(t)′+∫αβ​Q(ϕ(t),ψ(t))ψ(t)′dt
dx=ϕ(t)′dtdx = \phi(t)'dtdx=ϕ(t)′dt
dy=ψ(t)′dtdy = \psi(t)'dtdy=ψ(t)′dt

3、两类曲线积分的联系
cosα=ϕ(t)′ϕ(t)′2+ψ(t)′2cos\alpha =\frac{\phi(t)'}{\sqrt{\phi(t)'^2+\psi(t)'^2}}cosα=ϕ(t)′2+ψ(t)′2​ϕ(t)′​
cosβ=ψ(t)′ϕ(t)′2+ψ(t)′2cos\beta =\frac{\psi(t)'}{\sqrt{\phi(t)'^2+\psi(t)'^2}}cosβ=ϕ(t)′2+ψ(t)′2​ψ(t)′​
则，∫LPdx+Qdy=∫L(Pcosα+Qcosβ)ds\int_{L}Pdx+Qdy = \int_{L}(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds∫L​Pdx+Qdy=∫L​(Pcosα+Qcosβ)ds

11.3格林公式

1、∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫LPdx+Qdy\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \int_LPdx+Qdy∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∫L​Pdx+Qdy其中，$L$为光滑闭合曲线，$D$为曲线围成的区域（注意包含分母为零的点时，偏导数不连续，该式不成立）

2、若①D是单连通区域②函数P,Q在D内具有一阶连续偏导数，则当∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q​=∂y∂P​在D内恒成立，曲线积分∫LPdx+Qdy\int_LPdx+Qdy∫L​Pdx+Qdy在D内与路径无关

3、以下是三个相互等价的条件
1）D内存在二元函数$u(x,y)$且$du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
2）∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q​=∂y∂P​在D内恒成立，且u(x,y)=∫x0,y0x,yPdx+Qdyu(x,y) = \int_{x_0,y_0}^{x,y}Pdx+Qdyu(x,y)=∫x0​,y0​x,y​Pdx+Qdy
3）∫LPdx+Qdy\int_LPdx+Qdy∫L​Pdx+Qdy在D内与路径无关
注：对于$u(x,y)$的求法，u(x,y)=∫x0,y0x,yPdx+Qdy=∫x0xPdx+∫y0yQdyu(x,y) = \int_{x_0,y_0}^{x,y}Pdx+Qdy = \int_{x_0}^{x}Pdx + \int_{y_0}^{y} Qdyu(x,y)=∫x0​,y0​x,y​Pdx+Qdy=∫x0​x​Pdx+∫y0​y​Qdy

4、对于$0=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$全微分方程而言，$u(x,y)=C$就是其隐式通解

11.4对面积的曲面积分

1、概念和性质
1）

2）性质
线性性 积分曲面可加性 保序性 估值性 积分中值定理 对称性 曲面积分与曲面的侧无关

2、计算方法
∬Σf(x,y,z)ds=∬Σf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z)ds = \iint_\Sigma f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy∬Σ​f(x,y,z)ds=∬Σ​f(x,y,z(x,y))1+zx2​+zy2​​dxdy

11.5对坐标的曲面积分

1、概念和性质
1）有向曲面

方向余弦	$cos\alpha$	$cos\beta$	$cos\gamma$	封闭曲面
侧的规定	>0前侧，<0后侧	>0右侧，<0左侧	>0上侧，<0下侧	外侧，内侧

注：实际看的就是法向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值
2）概念


3）存在条件
$R(x,y,z)$在光滑曲面$\Sigma$上连续
4）性质
线性性 可加性 相反侧

2、计算方法
∬ΣR(x,y,z)dxdy=∬DxyR(x,y,z(x,y))dxdy\iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy = \iint_{D{_x}{_y}}R(x,y,z(x,y))dxdy∬Σ​R(x,y,z)dxdy=∬Dx​y​​R(x,y,z(x,y))dxdy
注意：曲面的侧

3、两类曲面积分的关系
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ(Pcosα+Qcos⁡β+Rcosγ)ds\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx +Rdxdy = \iint_\Sigma(Pcos\alpha+Q\cos\beta+Rcos\gamma)ds∬Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ​(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds

4、综合计算公式
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=+/−∬Dxy[P(−zx)+Q(−zy)+R]dxdy\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx +Rdxdy = +/-\iint_D{_x}{_y}[P(-z_x)+Q(-z_y)+R]dxdy∬Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=+/−∬D​x​y​[P(−zx​)+Q(−zy​)+R]dxdy

11.6高斯公司&斯托克斯公式

1、高斯公式
设空间区域$\Omega$由闭曲面$\Sigma$所围成，$\Sigma$方向取外侧，函数P,Q,R在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv=∬ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv = \iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz + Rdxdy =\iint_\Sigma (Pcos\alpha +Qcos\beta + Rcos\gamma)ds∭Ω​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dv=∬Σ​Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∬Σ​(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds其中$cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma$都是闭曲面在点$(x,y,z)$处的法向量的方向余弦
注：偏导数务必连续

2、斯托克斯公式
（右手关系）
设光滑曲面$\Sigma$的边界$\Gamma$是分段光滑曲线，$\Sigma$的侧与$\Gamma$复合右手法则，P,Q,R在包含$\Sigma$在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫ΓPdx+Qdy+Rdz\iint_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \int_\Gamma Pdx+Qdy +Rdz∬Σ​(∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dzdx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∫Γ​Pdx+Qdy+Rdz

3、通量 散度 环流量 旋度
通量和散度：设有向量场A⃗(x,y,z)=Pi⃗+Qj⃗+Rk⃗\vec A (x,y,z) =P\vec i+Q\vec j+R\vec kA(x,y,z)=Pi+Qj​+Rk，其中P,Q,R具有连续一阶偏导数，$\Sigma$是场内的一片有向曲面，其单位法向量n⃗\vec nn，则称∬ΣA⃗n⃗ds\iint_\Sigma \vec A\vec nds∬Σ​Ands为向量场A⃗\vec AA通过有向曲面$\Sigma$的通量，在场中$M(x,y,z)$处，∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​记作div A⃗\vec AA称为向量场A⃗\vec AA在点$M$的散度
环流量和旋度： ∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫ΓPdx+Qdy+Rdz=∫ΓA⃗τds\iint_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \int_\Gamma Pdx+Qdy +Rdz = \int_\Gamma \vec A \tau ds∬Σ​(∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dzdx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∫Γ​Pdx+Qdy+Rdz=∫Γ​Aτds称为环流量，((∂R∂y−∂Q∂z),(∂P∂z−∂R∂x),(∂Q∂x−∂P∂y))((\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}) , (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}) ,(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}))((∂y∂R​−∂z∂Q​),(∂z∂P​−∂x∂R​),(∂x∂Q​−∂y∂P​))记作rot A⃗\vec AA称为向量场A⃗\vec AA的旋度
注意：对于曲面的第二类积分要充分理解方向性和其投影，加强对dxdy的理解

第十二章_无穷级数

12.1常数项级数

1、定义
1）给定数列{Un}\{U_n\}{Un​}，有该数列构成的表达式u1+u2+⋯+un+⋯u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdotsu1​+u2​+⋯+un​+⋯，称为常数项级数，简称级数，记为∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​，u1u_1u1​为首项，unu_nun​为一般项。
有限和式Sn=u1+u2+u3+⋯+unS_n = u_1+u_2+u_3+\cdots+u_nSn​=u1​+u2​+u3​+⋯+un​称为∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​的前n项和
2）如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​的部分和数列{SnS_nSn​}有极限S，即lim⁡n→∞=S\lim_{n \to \infty} = Slimn→∞​=S，则称无穷级数收敛，并称级数的和胃S，记为$s = u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots = ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​，如果级数不收敛，则{Sn}\{S_n\}{Sn​}没有极限。
当级数收敛时，称差值rn=s−sn=un+1+un+2+⋯r_n =s – s_n = u_{n+1}+u_{n+2}+\cdotsrn​=s−sn​=un+1​+un+2​+⋯为级数的余项，lim⁡n→∞rn=0\lim_{n \to \infty}r_n = 0limn→∞​rn​=0

2、收敛级数的基本性质
1）若级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​收敛于S，即$s = ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​，则各项乘以c所得的级数∑n=1∞cun=cs\sum_{n=1}^{\infty}{cu_n} = cs∑n=1∞​cun​=cs也收敛
2）设有两个收敛级数s=∑n=1∞un，σ=∑n=1∞vns =\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}，\sigma = \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}s=∑n=1∞​un​，σ=∑n=1∞​vn​，则级数∑n=1∞un±vn\sum_{n=1}^{\infty}{u_n \pm v_n}∑n=1∞​un​±vn​也收敛，其和为$s\pm \sigma$
推论1：若两个级数中一个收敛一个发散，则∑n=1∞un±vn\sum_{n=1}^{\infty}{u_n \pm v_n}∑n=1∞​un​±vn​必发散
推论2：若两个级数都发散，∑n=1∞un±vn\sum_{n=1}^{\infty}{u_n \pm v_n}∑n=1∞​un​±vn​不一定收敛，也不一定发散
性质3：在级数前面加上后去掉有限项，不会影响级数的敛散性
性质4：收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和
推论：若能加括弧后的级数发散，则原级数必发散
性质5：设收敛级数s=∑n=1∞uns = \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}s=∑n=1∞​un​，则必要lim⁡n→∞un=0\lim_{n \to \infty}u_n = 0limn→∞​un​=0
推论：若级数的一般项不趋于0，则级数必发散

3、审敛法（正项级数）
正项级数收敛$\to$部分和序列有界
1）比较审敛法
对于正项级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​和∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}∑n=1∞​vn​，un<vnu_n<v_nun​<vn​，则①若∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}∑n=1∞​vn​收敛，则∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​收敛，②若∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​发散，则∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}∑n=1∞​vn​发散
2）比较审敛法的极限形式
对于正项级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​和∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}∑n=1∞​vn​，满足lim⁡n→∞unvn=l\lim_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n} =llimn→∞​vn​un​​=l,则：
①当$0<l<\infty$时，两个级数的敛散性相同
②当$l=0$时，∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}∑n=1∞​vn​收敛，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​也收敛
③当$l=\infty$时，∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}∑n=1∞​vn​发散，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​也发散
3）比值审敛法
设∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​为正项级数，且lim⁡n→∞un+1un=ρ\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\rholimn→∞​un​un+1​​=ρ
①当$\rho <1$时，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​收敛
②当$\rho =1$时，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​敛散性不确定
③当$\rho >1$时，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​发散
4）根值审敛法
设∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​为正项级数，且lim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n} = \rholimn→∞​nun​​=ρ则：
①当$\rho <1$时，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​收敛
②当$\rho =1$时，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​敛散性不确定
③当$\rho >1$时，∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}∑n=1∞​un​发散
5）极限审敛法（与比值审敛法无异）

12.2交错级数

1、定义
设un>0u_n>0un​>0，$n=1,2,3\cdots$，级数u1−u2+u3⋯+(−1)nun+u_1-u_2+u_3\cdots +(-1)^nu_n+u1​−u2​+u3​⋯+(−1)nun​+称为交错级数

2、Leibnitz判别法
若交错级数满足：①un≥un+1u_n\geq u_{n+1}un​≥un+1​②lim⁡n→∞un=0\lim_{n \to \infty}u_n = 0limn→∞​un​=0则级数∑n=1∞(−1)n−1un\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{u_n}∑n=1∞​(−1)n−1un​收敛，且其和$s<u1$，其余项满足∣rn∣≤un+1|r_n|\leq u_{n+1}∣rn​∣≤un+1​

3、绝对收敛于条件收敛
通俗易懂的讲，绝对收敛指级数的绝对值收敛，条件收敛指级数的绝对值不收敛，但原级数收敛。另外，如果是根据根值法或比值法判定出级数的绝对值发散，则原级数一定发散

12.3幂级数

几个小概念：函数项级数，收敛域，发散域，级数的和函数，前n项和，余项

1、定义
形如：∑n=1∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+⋯\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}(x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots∑n=1∞​an​(x−x0​)n=a0​+a1​(x−x0​)+a2​(x−x0​)2+⋯+an​(x−x0​)n+⋯的函数项级数称为幂级数，其中数列ana_nan​称为幂级数的性质（一般x0=0x_0 = 0x0​=0）

2、性质
定理1：若幂级数∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}x^n∑n=1∞​an​xn在x0=xx_0 = xx0​=x收敛，则对满足不等式∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|∣x∣<∣x0​∣的一切x幂级数都绝对收敛，反之，对x=x0x = x_0x=x0​时发散，∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0|∣x∣>∣x0​∣的一切x幂级数都发散
定理2：若∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}x^n∑n=1∞​an​xn的系数满足lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rholimn→∞​∣an​an+1​​∣=ρ，则
①当$\rho \ne 0$时，R=1ρR = \frac{1}{\rho}R=ρ1​
②当$\rho =0$时，$R=\infty$
③当$\rho =\infty$时，$R=0$
注：幂级数的收敛半径满足线性性和叠加性
定理4：幂级数的收敛半径R>0,则其和函数s（x）在收敛域内连续，且可逐项求导，逐项积分，收敛半径不变（应用于求幂级数的和函数）

3、幂级数的展开式
直接展开法

间接展开法

4、近似计算（了解即可）
凑展开式，约束余项

12.4傅里叶级数

1、三角级数
形如：a02+∑n=1∞(ancosnπtl+bnsinnπtl)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{n\pi t}{l}+b_nsin\frac{n\pi t}{l})2a0​​+∑n=1∞​(an​coslnπt​+bn​sinlnπt​)的级数称为三角级数，（这里原始式子即使一般形式，下面的简化是对周期为$2\pi$的形式）令πtl=x\frac{\pi t}{l} = xlπt​=x则a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx + b_nsinnx)2a0​​+∑n=1∞​(an​cosnx+bn​sinnx)
★这里对$cosx,sinx,cos2x,sin2x\cdots$其中两个不同函数的乘积在$[-\pi ,\pi ]$上积分等于零

2、展开为傅里叶级数
f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx + b_nsinnx)f(x)=2a0​​+∑n=1∞​(an​cosnx+bn​sinnx)
则其中an=1π∫−ππf(x)cosnxdxa_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdxan​=π1​∫−ππ​f(x)cosnxdx，bn=1π∫−ππf(x)sinnxdxb_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdxbn​=π1​∫−ππ​f(x)sinnxdx
注：对于一般形式
an=1l∫−llf(x)cosnπxldxa_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dxan​=l1​∫−ll​f(x)coslnπx​dx
bn=1l∫−llf(x)sinnπxldxb_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dxbn​=l1​∫−ll​f(x)sinlnπx​dx

3、收敛定理
a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx + b_nsinnx)2a0​​+∑n=1∞​(an​cosnx+bn​sinnx) = f(x)(x为连续点) or f(x−)+f(x+)2\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}2f(x−)+f(x+)​(x为间断点)

4、周期延拓
5、余弦级数和正弦级数
奇延拓/偶延拓