三体到底是啥？用Python跑一遍就明白了

文章目录

- 拉格朗日方程
- 推导方程组
- 微分方程算法化
- 求解+画图
- 动图绘制

温馨提示，只想看图的画直接跳到最后一节

拉格朗日方程

此前所做的一切三体和太阳系的动画，都是基于牛顿力学的，而且直接对微分进行差分化，从而精度非常感人，用不了几年就得撞一起去。

为了给三体人提供一个更加有价值的推导，这次通过求解拉格朗日方程的数值解来实现。

首先假设三个质点的质量分别为 $m_1, m_2, m_3$ ，坐标为 $x⃗1,x⃗2,x⃗3\vec x_1, \vec x_2, \vec x_3$ ，质点速度可以表示为 $x⃗˙\dot{\vec x}$ 。假设三体在二维平面上运动，则第 $i$ 个质点的动能为

$Ti=12mi(x˙i2+y˙i2)T_i=\frac{1}{2}m_i(\dot x_i^2+\dot y_i^2)$

引力势能为 $−Gmimjrij-G\frac{m_im_j}{r_{ij}}$ ，其中 $G$ 为万有引力常量， $r_{ij}$ 为质点 $i, j$ 之间的距离，则系统的拉格朗日量为

$L=∑i12mi(x˙i2+y˙i2)−∑i≠jGmimj∥x⃗i−x⃗j∥L=\sum_i\frac{1}{2}m_i(\dot x_i^2+\dot y_i^2)-\sum_{i\not=j}G\frac{m_im_j}{\Vert\vec x_i-\vec x_j\Vert}$

有了拉格朗日量，将其带入拉格朗日方程

$ddt∂L∂x˙i−∂L∂xi=0\frac{\text d}{\text dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x_i}-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$

就可以得到拉格朗日方程组。

推导方程组

对于三体系统而言，总计有3个粒子，每个粒子有 $x, y$ 两个自由度，也就是说最后会得到6组方程。考虑到公式推导过程中可能会出现错误，所以下面采用sympy来进行公式推导。

首先定义符号变量

from sympy import symbols
from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols
m = symbols('m1:4')
x = dynamicsymbols('x1:4')
y = dynamicsymbols('y1:4')

接下来，需要构造系统的拉格朗日量 $L$ ，其实质是系统的动能减去势能，对于上面构建的三体系统而言，动能和势能可分别表示为

计算每个质点的动能和势能。动能是由速度决定的，而速度是由位置对时间的导数决定的。我们可以用 sympy 的 diff 函数来求导：

from sympy import diff
# 此为速度的平方
v2 = [diff(x[i],t)**2 + diff(y[i])**2 for i in range(3)]
T = 0
for i in range(3):T += m[i]*v2[i]/2

势能是由万有引力决定的，而万有引力是由两个质点之间的距离决定的。我们可以用 sympy 的 sqrt 函数来求距离：

from sympy import sqrt,cos
G = symbols('G') # 引力常数
ijs = [(0,1), (0,2),(1,2)]
dij = [sqrt((x[i]-x[j])**2+(y[i]-y[j])**2) for i,j in ijs]
U = 0
for k in range(3):i,j = ijs[k]U -= G*m[i]*m[j]/dij[k]

有了动能和势能，就可以愉快地求拉格朗日量了，有了拉格朗日量，就可以列拉格朗日方程了

$U\\ \frac{\text dL}{\text dx_i}-\frac{\text d}{\text dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}$

三个粒子的每一个坐标维度，都可以列出一组拉格朗日方程，所以总共有6个拉格朗日方程组

from sympy import solve
L = T - U
eqLag = lambda x : diff(L, x)-diff(diff(L, diff(x, t)), t)
# 拉格朗日方程组
eqs = [eqLag(xi) for xi in x+y]

记 $x_{ij}=x_i-x_j, y_{ij}=y_i-y_j$ ，则

$−Gm1m2x12(x122+y122)32+−Gm1m3x13(x132+y132)32−m1d2dt2x1=0Gm1m2x12(x122+y122)32+−Gm2m3x23(x232+y232)32−m2d2dt2x2=0Gm1m3x13(x132+y132)32+Gm2m3x23(x232+y232)32−m3d2dt2x3=0−Gm1m2y12(x122+y122)32+−Gm1m3y13(x132+y132)32−m1d2dt2y1=0Gm1m2y12(x122+y122)32+−Gm2m3y23(x232+y232)32−m2d2dt2y2=0Gm1m3y13(x132+y132)32+Gm2m3y23(x232+y232)32−m3d2dt2y3=0\frac{-G m_1 m_2x_{12}}{\left(x_{12}^{2} + y_{12}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{-G m_1 m_{3}x_{13}}{\left(x_{13}^{2} + y_{13}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} – m_1 \frac{d^{2}}{d t^2} x_1=0\\ \frac{G m_1 m_2 x_{12}}{\left(x_{12}^{2} + y_{12}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{-G m_2 m_{3}x_{23}}{\left(x_{23}^{2} + y_{23}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} – m_2 \frac{d^{2}}{d t^2} x_2=0\\ \frac{G m_1 m_{3} x_{13}}{\left(x_{13}^{2} + y_{13}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{G m_2 m_{3} x_{23}}{\left(x_{23}^{2} + y_{23}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} – m_{3} \frac{d^{2}}{d t^2} x_{3}=0\\ \frac{-G m_1 m_2 y_{12}}{\left(x_{12}^{2} + y_{12}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{-G m_1 m_{3} y_{13}}{\left(x_{13}^{2} + y_{13}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} – m_1 \frac{d^{2}}{d t^2} y_1=0\\ \frac{G m_1 m_2 y_{12}}{\left(x_{12}^{2} + y_{12}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{-G m_2 m_{3}y_{23}}{\left(x_{23}^{2} + y_{23}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} – m_2 \frac{d^{2}}{d t^2} y_2=0\\ \frac{G m_1 m_{3} y_{13}}{\left(x_{13}^{2} + y_{13}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{G m_2 m_{3} y_{23}}{\left(x_{23}^{2} + y_{23}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} – m_{3} \frac{d^{2}}{d t^2} y_{3}=0\\$

微分方程算法化

接下来就要调用Python的odeint来计算这个微分方程组的数值解，odeint的调用方法大致为odeint(func, y, t, args)，其中func是一个函数，这个函数必须为func(y,t,...)，且返回值为 $dydt\frac{\text dy}{\text dt}$ 。

为此，需要将上述方程组再行拆分，以消去其中的二次导数，以 $x_1$ 为例，令 $u1=dx1dtu_1=\frac{\text dx_1}{\text dt}$ ，则此方程变为方程组

$x˙1(t)=u1(t)u˙1(t)=−Gm1m2x12(x122+y122)32+−Gm1m3x13(x132+y132)32\begin{aligned} \dot x_1(t)&=u_1(t)\\ \dot u_1(t)&= \frac{-G m_1 m_2x_{12}}{\left(x_{12}^{2} + y_{12}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{-G m_1 m_{3}x_{13}}{\left(x_{13}^{2} + y_{13}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\\ \end{aligned}$

由于三体系统中有3个粒子，共6个独立变量，所以要列12个方程。记 $u(t)=textdxdt,v(t)=dydtu(t)=\frac{text dx}{\text dt}, v(t)=\frac{\text dy}{\text dt}$ ，则odeint输入的y的形式为

$x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3, u_1, u_2, u_3, v_1, v_2, v_3]$

从而func的具体形式为

import numpy as np
dxy = lambda x,y : np.sqrt(x**2+y**2)**(3/2)
def triSys(Y, t, m, G):jk = [(1,2),(0,2),(0,1)]x,y = Y[:3], Y[3:6]u,v = Y[6:9], Y[9:]du, dv = [], []for i in range(3):j, k = jk[i]xji, xki = x[j]-x[i], x[k]-x[i]yji, yki = y[j]-y[i], y[k]-y[i]dji, dki = dxy(xji, yji), dxy(yji, yki)mji, mki = G*m[i]*m[j], G*m[i]*m[k]du.append(mji*xji/dji + mki*xki/dki)dv.append(mji*yji/dji + mki*yki/dki)dydt = [*u, *v, *du, *dv]return dydt

求解+画图

接下来就是见证奇迹的时刻，首先创建一个随机的起点，作为三体运动的初值，然后带入开整就完事儿了

from scipy.integrate import odeint
np.random.seed(42)
y0 = np.random.rand(12)
m = np.random.rand(3)
t = np.linspace(0, 20, 1001)
sol = odeint(triSys, y0, t, args=(m, 1))

然后绘制一下这三颗星的轨迹

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(sol[:,0], sol[:,3])
plt.plot(sol[:,1], sol[:,4])
plt.plot(sol[:,2], sol[:,5])
plt.show()

光是看这个轨迹就十分惊险了有木有。

如果把其中的第一颗星作为坐标原点，那么另外两颗星的轨迹大致为

plt.plot(sol[:,1]-sol[:,0], sol[:,4]-sol[:,3])
plt.plot(sol[:,2]-sol[:,0], sol[:,5]-sol[:,3])
plt.scatter([0],[0], c='g', marker='*')
plt.show()

结果为

动图绘制

最后，以中间这颗星为原点，绘制一下另外两颗星运动的动态过程

import matplotlib.animation as animation fig = plt.figure(figsize=(9,4))
ax = fig.add_subplot(xlim=(-1.8,1.8),ylim=(-1.8,1.5))
ax.grid()traces = [ax.plot([],[],'-',lw=0.5)[0] for _ in range(2)]
pts = [ax.plot([],[] ,marker='*')[0] for _ in range(2)]
ax.plot([0],[0], marker="*", c='r')X1 = sol[:,1]-sol[:,0]
Y1 = sol[:,4]-sol[:,3]
X2 = sol[:,2]-sol[:,0]
Y2 = sol[:,5]-sol[:,3]def animate(n):traces[0].set_data(X1[:n], Y1[:n])traces[1].set_data(X2[:n], Y2[:n])pts[0].set_data([X1[n], Y1[n]])pts[1].set_data([X2[n], Y2[n]])return traces + ptsani = animation.FuncAnimation(fig, animate, range(1000), interval=10, blit=True)
ani.save('tri.gif')

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