0.引言
针对类别变量进行oner-hot编码后的高维稀疏矩阵M，可以表示如下：
可以看出，经过One-Hot编码之后，大部分样本数据特征是比较稀疏的， One-Hot编码的另一个特点就是导致特征空间大。例如，电影品类有550维特征，一个categorical特征转换为550维数值特征，特征空间剧增。
同时通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。例如，“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。换句话说，来自“China”的用户很可能会在“Chinese New Year”有大量的浏览、购买行为，而在“Thanksgiving”却不会有特别的消费行为。这种关联特征与label的正向相关性在实际问题中是普遍存在的，如“化妆品”类商品与“女”性，“球类运动配件”的商品与“男”性，“电影票”的商品与“电影”品类偏好等。因此，引入两个特征的组合是非常有意义的。
多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。在多项式模型中，特征 和 的组合采用 表示，即和都非零时，组合特征 才有意义。从对比的角度，讨论二阶多项式模型。模型的表达式如下：
其中， 代表样本的特征数量，是第个特征的值， 是模型参数。从公式可以看出，组合特征的参数一共有 个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 的训练需要大量 和 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足“和 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数 不准确，最终将严重影响模型的性能。
一、FM模型推导
1. 对于普通的线性模型，引入二次交叉项后：
其中，,,，为隐向量的维度，则两个向量的内积满足：
该模型需要学习的参数包括：
：模型整体的偏置；
：一阶线性权重；
：特征和特征交互权重
针对等式（1）右端最后一项化简得：
所以公式（1）可以化简为：
针对上式，利用SGD训练模型其参数的梯度下降表达式为：
其中，是隐向量 的第 个元素。由于 只与有关，而与 j 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 的 ，就能够方便地得到所有 的梯度。显然，计算所有 的 的复杂度是 O(kn)；已知时，计算每个参数梯度的复杂度是 O(1)；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 O(1)；模型参数一共有 nk+n+1 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 O(kn)。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。
2. FM & SVM讨论
线性核SVM
可以看出等价于时的FM。
多项式核 SVM
非线性映射函数：
SVM的表达式为：
可以看出，SVM的二元特征交叉参数是独立的，而FM的二元特征交叉参数是两个维的向量、，交叉参数就不是独立的，而是相互影响的；
SUMMARY
对于大型稀疏矩阵，SVM无法估计高阶交互特征的参数，因为对于特征对的参数必须有足够的非零样本即只要存在某一个特征则wij参数估计失败，因此在大型稀疏样本情况下，SVM表现很差，而FM对大型稀疏数据非常有用。
FM可以在原始形式下进行优化学习，而基于kernel的非线性SVM通常需要在对偶形式下进行；
FM的模型预测是与训练样本独立，而SVM则与部分训练样本有关，即支持向量；
FM参数初始化
可以看出：常数项和一次项初始化为零，二次项按照均值为0，方差为0.01的正态分布初始化。
FM数据格式
For classification(binary/multiclass), <label> is an integer indicating the class label.
For regression, <label> is the target value which can be any real number.
Labels in the test file are only used to calculate accuracy or errors. If they are unknown, you can just fill the first column with any number.
二、FFM 假设一个广告分类的问题，根据用户和广告位相关的特征，预测用户是否点击了广告。源数据如下：
“Clicked?“是label，Country、Day、Ad_type是特征。由于三种特征都是categorical类型的，需要经过独热编码（One-Hot Encoding）转换成数值型特征。
FFM（Field-aware Factorization Machine）最初的概念来自Yu-Chin Juan（谨慎的高跟鞋，毕业于中国台湾大学，现在美国Criteo工作）与其比赛kdxf，是他们借鉴了来自Michael Jahrer的论文中的field概念提出了FM的升级版模型。 通过引入field的概念，FFM把相同性质的特征归于同一个field。以上面的广告分类为例，“Day=26/11/15”、“Day=1/7/14”、“Day=19/2/15”这三个特征都是代表日期的，可以放到同一个field中。同理，商品的末级品类编码生成了550个特征，这550个特征都是说明商品所属的品类，因此它们也可以放到同一个field中。简单来说， 同一个 cat egorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field，包括用户性别、职业、品类偏好等。在FFM中，每一维特征 ，针对其它特征的每一种 field f j，都会学习一个隐向量 。因此，隐向量不仅与特征相关，也与field相关。也就是说，“Day=26/11/15”这个特征与“Country”特征和“Ad_type”特征进行关联的时候使用不同的隐向量，这与“Country”和“Ad_type”的内在差异相符，也是FFM中“field-aware”的由来。 假设样本的 n个特征属于 f个field，那么FFM的二次项有 nf个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。根据FFM的field敏感特性，可以导出其模型方程。
其中，fj是第 j个特征所属的field。如果隐向量的长度为 k，那么FFM的二次参数有 nfk 个，远多于FM模型的 nk个。此外，由于隐向量与field相关， FFM二次项并不能够化简，其预测复杂度是 O( kn 2 )。 下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式。输入记录如下
这条记录可以编码成5个特征，其中“Genre=Comedy”和“Genre=Drama”属于同一个field，“Price”是数值型，不用One-Hot编码转换。为了方便说明FFM的样本格式，我们将所有的特征和对应的field映射成整数编号。
那么，FFM的组合特征有10项：
FFM数据格式
在训练FFM的过程中，有许多小细节值得特别关注。 样本归一化。FFM默认是进行样本数据的归一化，即 pa.normpa.norm 为真；若此参数设置为假，很容易造成数据inf溢出，进而引起梯度计算的nan错误。因此，样本层面的数据是推荐进行归一化的。 特征归一化。CTR/CVR模型采用了多种类型的源特征，包括数值型和categorical类型等。但是，categorical类编码后的特征取值只有0或1，较大的数值型特征会造成样本归一化后categorical类生成特征的值非常小，没有区分性。例如，一条用户-商品记录，用户为“男”性，商品的销量是5000个（假设其它特征的值为零），那么归一化后特征“sex=male”（性别为男）的值略小于0.0002，而“volume”（销量）的值近似为1。特征“sex=male”在这个样本中的作用几乎可以忽略不计，这是相当不合理的。因此，将源数值型特征的值归一化到 [0,1]是非常必要的。 省略零值特征。从FFM模型的表达式可以看出，零值特征对模型完全没有贡献。包含零值特征的一次项和组合项均为零，对于训练模型参数或者目标值预估是没有作用的。因此，可以省去零值特征，提高FFM模型训练和预测的速度，这也是稀疏样本采用FFM的显著优势。 实践部分： https://www.analyticsvidhya.com/blog/2018/01/factorization-machines/ 代码实战参考DeepFM https://github.com/kangzhang0709/tensorflow-DeepFM