一、虚数

      虚数/复数在学习中一开始是难以接受的。实际上，历史上人们也是经过了近500年的挣扎才真正接受了虚数这个不知所谓的东西，那么我们也当然需要时间来接受它了。高中对虚数的引入是对二次方程x^2+1=0求解，得x=√-1，规定其为虚数i，即i^2=-1，引入虚数，将实数域拓展到复数域，实现一些实数域无解的方程在复数域有解（复数域中，几元方程就有几个解）。

    话是这么说，那么虚数的几何意义，或者说物理意义是什么呢？这里要说明一点，引用陈怀琛教授的想法，数学是抽象地描述物理的一种工具，那么数学一定有其物理意义，只是大多时候数学超前于物理，所以人们暂时想不到它的物理意义而不是它没有物理意义而已。那么说回来，虚数的物理意义是什么？

    旋转，答案就是旋转。乘以i相当于逆时针旋转90度。想象一个平面，（嫌麻烦就不画了，下面给出的知乎连接中有详细的回答），横轴为数轴，纵轴为虚轴，横轴上的向量1，乘以i，变成了虚数，成为了纵轴上的向量，相当于逆时针旋转了90度。再想想，横轴是向量1乘以-1就变成了-1，是不是相当于逆时针旋转了180度？而 i^2=-1,说明是旋转了两次90度，也就说乘以一个i就旋转了90度。

    那么虚数有什么用处呢？在数学上，他的加入使得数学体系更完美，n次方程的n个解，欧拉公式……。在物理上，或者对于一个工程师而言，它让我们有了一种工具来描述各种东西——电磁学中的正交的电磁场，用一个实数加三个特殊虚数的四元数来描述无人机的运动……

二、傅里叶变换中的负频率

    频率，原始定义是机械1秒内运动的次数。

    然而，到了二维平面，它的定义就扩充了，不再局限，而是用来描述旋转的快慢。这里就有了角频率，Ω=2πf，rad/s。既然是旋转，那么就有逆时针旋转和顺时针旋转，以逆时针旋转频率为正，那么顺时针旋转频率就为负频率了。因此，傅里叶变换中，负频率是有物理意义的，不是只有数学意义的东西。如果这点搞不清楚，就是囿于频率的原始意义，没有接受它的扩充意义。

    负频率的物理意义找到了，那么它在傅里叶变换中有什么用？实际上，如果我们感受不到负频率的作用，可能是为了简单，我们只学习到了一维x-t或y-t上的sin(wt)或cos(wt)的图像，而没有在二维的上学习。傅里叶变换的核是e^(jwt)=cos(wt)+i sin(wt)，而信号与系统的学习中仅仅拎出来sin(wt)或者cos(wt)进行学习，而这样是看不出相位、负频率这东西的，我们只看到了w的绝对值而已，sin(wt)=sin(-wt）。

三、复数、负频率的综合思考

     我们知道，复平面中表达一个实数或者说cos(wt），可以说是复数再实轴的投影。

    但借助欧拉公式，用上负频率，我们也可以这么表达cos(wt)=0.5[e^(jwt)+e^(-jwt)]，这就是欧拉公式的物理意义，也将复数/虚数和负频率用到了一起。

   ps：sin(wt)=0.5(e^(jwt)-e^(-jwt))，相当于0.5e^(-jwt)旋转180度再与0.5e^(jwt)合成。

参考资料：

1、陈怀琛教授-论频谱中负频率成分的物理意义

2、知乎-复数的物理意义是什么？