高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用
一．基本不等式
1.(1)若 a,b R ，则 a2 b2 2ab (2)若 a,b R ，则 ab a 2 b2(当且仅当 a b 时取“=”)
2
2. (1)若 a, b R* ，则 a b ab 2
(2)若 a, b R* ，则 a b 2 ab (当且仅当 a b 时取“=”)
(3)若 a, b R* ，则 ab a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”)
2
3.若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”);若 x 0 ，则 x 1 2 (当且仅当 x 1 时取“=”)
x
x
若 x 0 ，则 x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当 a b 时取“=”)
x
x
x
3.若 ab 0 ，则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”)
ba
若 ab 0 ，则 a b 2即 a b 2或 a b -2 (当且仅当 a b 时取“=”)
ba
ba
ba
4.若 a,b R ，则 ( a b)2 a2 b2 (当且仅当 a b 时取“=”)
2
2
注：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例 1：求下列函数的值域
(1)y＝3x 2＋21x 2
(2)y＝x＋1x
解：(1)y＝3x 2＋21x 2 ≥2 3x 2·2×1 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞)
(2)当 x＞0 时，y＝x＋1x ≥2
1 x·x ＝2；
当 x＜0 时， y＝x＋1x = －(－ x－1x )≤－2 ∴值域为(－∞，－2]∪[2，+∞)
解题技巧： 技巧一：凑项
1 x·x =－2
例 1：已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值。
4
4x 5
解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)g 1 不是常数，所以对 4x 2 要进行拆、凑项，
2020-04-01
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