最近，电视剧《三体》正在热播。但什么是三体？三体问题有解吗？这些问题值得我们去探索。
1687 年，艾萨克・牛顿发表了他的《原理》，其中包含了运动和引力方程，它将我们看似飘忽不定的宇宙变成了一个可预测的机器。鉴于太阳系天体的当前位置和速度，牛顿方程原则上可用于计算它们的过去和未来。我在这里加上了“原则上”是因为事情并没有那么简单。
尽管牛顿引力方程很美，但它们只在一种情况下为行星运动提供了一个简单的解决方案：当且仅当只有两个物体在没有其他引力的影响下相互绕行。如果再添加一个物体，那么在大多数情况下，所有的运动都会从根本上变得混乱。这就是三体问题，它已经有 300 年的历史了。
简介
在《原理》出版之后，许多人为更复杂的系统寻求简单的分析解决方案，下一步自然是三个引力体的系统。但是，即使是一个额外物体的影响，似乎也使得一个精确的方案变得不可能。三体问题成为许多伟大数学家的困扰，在 1980 年代后期，数学家恩斯特・布伦斯和亨利・庞加莱令人信服地断言，不存在一般的解析解。
三体问题的实际情况是，几乎所有起始构型的演化都受混沌动力学支配，未来状态高度依赖于初始微小条件的变化。轨道趋向于狂野和不可预测的模式，几乎不可避免地有一个天体最终从系统中弹出。尽管有明显的绝望，但学习预测多体的运动还是有好处的。自牛顿以来的三个世纪的大部分时间里，预测行星和月球的运动对于航海导航至关重要，现在它对太空旅行至关重要。
近似解
因为三体问题大部分没有有用的解析解，所以我们可以尝试寻找近似解。例如，如果物体相距足够远，那么我们可以将多体系统近似为一系列二体系统。这就像我们太阳系的每颗行星都可以被认为是一个与太阳一起的二体系统，并导致了一系列简单的椭圆轨道，就像开普勒所预测的那样。但由于行星之间的相互作用，这些轨道最终也会产生一些变化。
另一个有用的近似解是，当三个物体中的一个物体与其他两个物体相比质量非常低时，我们可以忽略较小天体的微小引力影响，并假设它在其较大同伴的完全可解的二体轨道内移动。我们称之为简化的三体运动，它适用于地球周围的人造卫星等微小物体，它也可以用来近似月球相对于地球和太阳的轨道，或地球相对于太阳和木星的轨道。这些近似解很有用，但还是无法完美预测。即使是最小的行星体也有一定的质量，而整个太阳系也有许多大质量的成分。在我们加入地球之前，太阳、木星和土星本身就自动成为一个没有解析解的三体系统。
但没有解析解并不意味着没有任何解，要获得对大多数三体系统的准确预测，我们需要将系统的运动分解为多个部分，任何引力轨迹的足够小部分都可以用精确的解析解来近似。如果将问题分解为足够小的路径或时间步长，那么系统中所有物体的小运动都可以逐步更新。这种一次一步求解微分方程的方法称为数值积分，当应用于多体的运动时，它是一种 N 体模拟。
借助现代计算机，N 体模拟可以准确预测行星在遥远未来的运动，或求解数百万个物体以模拟整个星系的形成和演化。这些数值解并不是从发明计算机开始的，在此之前这些计算必须由多人进行手工计算完成。
一些解析解
近似解的局限性、前计算机数值积分的费力以及三体问题的传奇地位，激发了一代又一代的物理学家和数学家继续寻求精确的解析解。在非常特殊的情况下，欧拉为围绕共同质心运行的三个天体找到了一系列解决方案，其中所有天体都保持在一条直线上。拉格朗日找到了三个物体形成等边三角形的解决方案。
事实上，对于任何两个相互绕行的物体，欧拉和拉格朗日解定义了第三个物体的 5 个额外轨道，可以用简单的方程来描述。这些是三体问题存在的唯一完美解析解决方案，在这 5 个轨道中任何一个放置一个低质量物体，它将无限期地停留在那里。我们现在将这些点称为拉格朗日点，它们是我们停放航天器的有用场所。
在欧拉和拉格朗日之后很久，人们并没有进一步发现三体系统的完美解。在近现代，人们用计算机搜索可能轨道的广阔空间，目的是要找到具有周期性运动的三体系统。在 1970 年代，Michel Henon 和 Roger Broucke 找到了一系列解决方案，其中涉及两个质量在第三个天体的轨道中心来回弹跳。在 1990 年代，Cris Moore 发现了一个稳定的“8”字形轨道，其中三个天体具有相等的质量。随后数学家从数学上证明了 8 字解的存在，这也导致了发现新的周期性三体轨道的热潮。
现在已知有数百个稳定的三体轨道，但除了欧拉和拉格朗日解之外，这些都不太可能在自然界中发生。
本文来自微信公众号：万象经验 （ID：UR4351），作者：Eugene Wang