本文来自微信公众号：低并发编程 （ID：dibingfa），原文标题：《图解 | 你管这破玩意叫动态规划》，作者：闪客
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小宇：闪客，我最近在研究动态规划，但感觉就是想不明白，你能不能给我讲讲呀？
闪客：没问题，这个我擅长，你先说说提到动态规划，你最先想到的是什么？
小宇：就什么子问题呀、状态转移方程呀乱七八糟的，哎呀不行不行，我一想到这些脑子又嗡嗡响了。
闪客：你先别急，你先把所有的名词都抛在脑后，听我讲。
小宇：好滴，你说吧。
闪客：小宇我问你，从 1 一直加到 100 等于多少？
1 + 2 + 3 + … + 100 = ？
小宇：5050！
闪客：你这，怎么不按套路出牌呀，你应该说不知道。
小宇：人家高斯早就算出来了，我还装不知道，这也太假了吧。
全剧终…
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闪客：好吧，那我再给你出一个题。
小宇：行，你说吧，这回我肯定说不知道。
闪客：一个楼梯有 10 级台阶，你从下往上走，每跨一步只能向上迈 1 级或者 2 级台阶，请问一共有多少种走法？
小宇：额，这我真不知道了，我想想哈。
小宇：哦哦我懂了，这道题里由于每一个递推项都需要前两项的支持，所以必须有最开头的两项作为已知，就是你说的 F (1) = 1 和 F (2) = 2。
闪客：没错。
小宇：嗯嗯，感觉这样就推出全部结果了！我写一下程序你看看。
闪客：先别急，由于这道题是一道经典的动态规划题，所以我们以这道题为例子来定义动态规划的三要素，在本题中
F (x-1) 和 F (x-2) 被称为 F (x) 的最优子结构
F (x) = F (x-1) + F (x-2) 叫状态转移方程
F (1) = 1, F (2) = 2 是问题的边界
之后做动态规划问题，只要找好这三个要素就好了。
小宇：哇，升华了诶，逼格瞬间高了不少呢。
闪客：先别说这些废话了，那接下来你看看能不能写出程序，计算出 F (10) 的结果，这才是难点。
小宇：编程的话这似乎是个递归问题，简单！
int getWays(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
if (n == 2) {
return 2;
}
return getWays(n-1) + getWays(n-2);
}
闪客：嗯不错，这样很简洁，但复杂度太高了，是 O (2^n)，具体你可以之后想想为什么。现在你看看能不能将复杂度降低。
小宇：我想想看，计算 F (10) 时需要计算 F (9) 和 F (8)，而在递归计算 F (9) 时要计算 F (8) 和 F (7)，这样 F (8) 在这里重复计算了，浪费了时间。
那么请问，在不得超过背包的承重的情况下，将哪些物品放入背包，可以使得总价值最大？
小宇：明白了，就是我用这个背包最多能装走多少钱的东西。
闪客：是的。
小宇：哎呀不行，我又陷入走楼梯时的遍历思想了。
闪客：没关系，这道题能想出遍历思想，其实也不容易了，你可以先说一下，找找感觉。
小宇：嗯嗯，那就是每个物品都可以有放入背包和不放入背包两种选择。
如果总重量超过了背包承重，那就不算，或者说将价值记为 0，然后将所有情况中价值最大的那个作为结果。
这样的复杂度也很容易得出，就是 O (2^N)
闪客：没错，这个复杂度很高的算法你已经说的很明白了，那接下来你想想看用动态规划思想，能不能解决这个问题。
小宇：好的，你之前说过，动态规划的三要素是最优子结构、状态转移方程和边界
闪客：没错，之前的变量很少所以比较简单，现在变量多了，定义就变得难了起来，我们先来几个定义方便描述。我们将 4 个物品的重量和价值分别表示为：w1，w2，w3，w4，v1，v2，v3，v4。
假如我们用
F(W,i)
表示
用载重为 W 的背包，装前 i 件物品的最大价值
那本题其实就是
用载重为 5kg 的背包，装前 4 件物品的最大价值
其实就是求解
F(5,4)
你能找到状态转移方程么？
小宇：我想想，单看这个物品 4，有两种可能：
第一种可能：如果选择把它装入背包，那已经得到了 6 元钱。
此时背包剩余载重为 1kg（5kg-4kg），剩余物品是除去物品 4 后的前 3 件物品。
那这部分能获取到的最大价值，相当于
用一个载重为 1kg 的背包，装前 3 件物品的最大价值
哇，那这部分就是
F(1,3)
闪客：哈哈，你这自己说着说着就说对啦！
小宇：所以最终，如果选择将物品 4 放入背包，这种情况下，最大价值就等于二者之和。
F(1, 3) + 6
我们的目标就是要计算右下角那个值，即背包载重 W = 5 时，选择前 4 件物品放入背包的最大价值 F (5,4)
小宇：哇这个表格好清晰呀，根据上面的公式
F(5,4) = max { F(1,3) + 6, F(5,3) }
那也就是说只要知道 F (1,3) 和 F (5,3) 的值就可以了对吧？
闪客：没错，那你再看看 F (1,3) 怎么计算？
小宇：好的，F (1,3) 此时背包重量为 1，如果选择放第三件物品的话，诶？好像不行，第三件物品根本放不下呀！
闪客：是的，所以这种情况就没必要讨论放第三件物品的情况了，因为根本放不下，因此 F (1,3) 直接就等于 F (1,2)，所以只需要知道 F (1,2) 即可。
同理 F (1,2) 也直接等于 F (1,1)，因为在背包重量为 1 时第二件物品也放不下。
闪客：小宇你想想看，那 F (1,1) 又等于什么呢？
小宇：显然嘛，现在只有一件物品可以选了，那能放下当然就放咯，所以最大价值就是第一件物品的价值 3，即 F (1,1) = 3
闪客：没错，这样我们就找到了一个边界值，小宇你想想看还有哪些边界值可以直接得出？你写在表格里吧。
小宇：好的，首先第一列表示背包重量为 0 时的情况，那显然什么都装不了，就全都是 0 了。
然后第一行也比较好算，背包重量 >= 1 时可以放下第一件物品，所以最大价值都等于 3
闪客：很好，接下来，就依次把表格的所有项都填出来，自然就可以算出 F (5,4) 啦。
小宇：哇塞，这样看好清晰呀！
闪客：是呀，不过刚刚我们用的都是具体的数字，那我们试着把这个问题抽象化，用一个载重为 W 的背包，装载 N 件物品，每件物品的重量和价值分别用 wi 和 vi 来表示，那刚刚的状态转移方程是什么呢？
小宇：emm，刚刚 F (5,4) = max { F (1,3) + 6, F (5,3) }，如果都用变量表示的话，就是
F(W,N) =
max { F(W-wn, N-1) + vn，F(W, N-1) }
闪客：很好，这就是状态转移方程。
F (W-wn, N-1) 和 F (W, N-1) 就是 F (W,N) 的最优子结构。
而刚刚表格中的第一行和第一列，即 F (0,…) 和 F (…,1) 就是边界值！
小宇：哇塞我爱你闪客！终于有点理解动态规划的思想了呢！
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闪客：别高兴太早，虽然过程看着清晰了，但代码写起来还是有难度的，你今天回去就把代码试着实现一下吧。
小宇：好的，保证完成任务。
闪客：快到晚饭时间了，旁边新开了家饺子馆，要不要一块去吃呀？
小宇：哦不了，晚上想利用晚饭时间再去消化消化动态规划的知识，不是还得代码实现呢么，下次吧，
闪客：哦好吧~
后记
本文通过直观演示 01 背包问题的解题思路，简单说明了动态规划思想的算法核心。可能不少人觉得动态规划难在理解，所以花很多时间在理解其思想上。但其实理解核心思想，这一篇文章就够了，更多的是通过不断做题，反过来帮助自己理解动态规划的思想。所以希望读者在读完本文后，和小宇一样，动手将其代码实现，并找来其他变种题目，继续巩固。