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文章目录

• 均匀线阵
• 相控阵基本结构图
• 确定信号功率和随机信号功率
• 数字波束合成 （Digital Beam Forming，DBF）
• 相控阵方向图
• 相控阵的信噪比
• 相控阵的优点

均匀线阵

对于一个均匀线阵，假设每个阵元都是理想全向点源，布局如上图所示， 第 1 个阵元位于坐标原点，如果阵元间距为d ，空间窄带远场平面波到达原点的信号可以表示为
s1(t)=s(t)=a(t)coswt−b(t)sinwts_1(t)=s(t)=a(t)coswt-b(t)sinwts1​(t)=s(t)=a(t)coswt−b(t)sinwt
第$l$个阵元接收信号表示为
sl(t)=s(t−τl)s_l(t)=s(t-tau _l)sl​(t)=s(t−τl​)
由于信号是窄带信号，相对于载波相位变化，基带信号相位变化可以忽略不计，则
sl(t)=a(t)cosw(t−τl)−b(t)sinw(t−τl)s_l(t)=a(t)cosw(t-tau_l)-b(t)sinw(t-tau_l)sl​(t)=a(t)cosw(t−τl​)−b(t)sinw(t−τl​)
第$l$个阵元接收信号相对于第1个阵元接收信号的延时
τl=−(l−1)dsinθctau_l=-(l-1)frac{dsintheta}{c}τl​=−(l−1)cdsinθ​
注意τltau_lτl​符号为负，因为第$l$个阵元接收信号的等相位面落后于第1个阵元接收信号，故需要加上正的延时。
其中$\theta$为信号入射角度，范围为[−π2,π2][-frac{pi}{2},frac{pi}{2}][−2π​,2π​]。
不同的阵元接收信号，延时不同，信号间存在由延时引起的相位差，该相位差的大小等于
wτl=w(l−1)dsinθc=2π(l−1)dsinθλwtau_l=w(l-1)frac{dsintheta}{c}=frac{2pi(l-1)dsintheta}{lambda}wτl​=w(l−1)cdsinθ​=λ2π(l−1)dsinθ​
常取阵元间距d=λ2d=frac{lambda}{2}d=2λ​，则wτl=(l−1)sinθwtau_l={(l-1)sintheta}wτl​=(l−1)sinθ

相控阵基本结构图

相控阵天线的基本原理，是通过对每个阵元接收信号进行加权处理，校正信号由于波程差所导致的相位差，该过程如上图所示 。
如果相控阵采用模拟方式实现，则加权移相是一个移相器。当相控阵采用数字化方式实现时，移相功能则通过一个复数乘法器实现。由于一个实数乘法器无法完成移相功能，所以，在数字相控阵当中，需要首先将阵元接收的实信号，
通过一定的正交变换，转换为复信号，也就是该实信号的解析信号。完成正交化后的复信号，通过复数加权，就可以实现移相功能。
常用的相控阵信号表示方式是采用复数矢量的方式，此时的阵列接收信号为一个列矢量，每个元素对应一个阵元接收信号，并且信号也是解析表示。此时第l 个阵元接收解析信号可以表示为
xl(t)=s(t)e−jwτlx_l(t)=s(t)e^{-jwtau_l}xl​(t)=s(t)e−jwτl​
则，阵列接收信号矢量表示为
x(t)=[x1(t)…xL(t)]=s(t)[e−jwτ1…e−jwτL]+n(t)=s(t)v(θ)+n(t)boldsymbol x(t)=begin{bmatrix} x_1(t)\ …\ x_L(t) end{bmatrix}=s(t)begin{bmatrix} e^{-jwtau_1}\ …\ e^{-jwtau_L} end{bmatrix}+ boldsymbol n(t)=s(t)boldsymbol v(theta)+boldsymbol n(t)x(t)=​x1​(t)…xL​(t)​​=s(t)​e−jwτ1​…e−jwτL​​​+n(t)=s(t)v(θ)+n(t)
其中s(t)=[a(t)+jb(t)]ejwt=m(t)ejwts(t)=[a(t)+jb(t)]e^{jwt}=m(t)e^{jwt}s(t)=[a(t)+jb(t)]ejwt=m(t)ejwt，$m(t)$称为信号复包络或复基带，信号为窄带信号时，$m(t-\tau )\approx m(t)$。
噪声列矢量为$\mathbf{n}(t)$为
n(t)=[n1(t)…nL(t)]boldsymbol n(t) = begin{bmatrix} n_1(t)\ …\ n_L(t) end{bmatrix}n(t)=​n1​(t)…nL​(t)​​
而矢量$\mathbf{v}(\theta )$称为信号的方向矢量，或导引矢量，它是由信号到达方向决定的列矢量，即信号入射角度$\theta$。
v(θ)=[e−jwτ1…e−jwτL]boldsymbol v(theta) = begin{bmatrix} e^{-jwtau_1}\ …\ e^{-jwtau_L} end{bmatrix}v(θ)=​e−jwτ1​…e−jwτL​​​
定义相控阵的权矢量为
w=v(θ0)boldsymbol w = boldsymbol v(theta_0)w=v(θ0​)
其中θ0theta_0θ0​为期望信号入射角度。
所以，窄带相控阵的权矢量就是信号的方向矢量。相控阵天线加权后的输出信号为
y(t)=wHx(t)=v(θ0)Hs(t)v(θ)+v(θ0)Hn(t)=Ls(t)+wHn(t)y(t)=boldsymbol w^H boldsymbol x(t)=boldsymbol v(theta_0)^Hs(t)boldsymbol v(theta)+boldsymbol v(theta_0)^H boldsymbol n(t)=Ls(t)+boldsymbol w^H boldsymbol n(t)y(t)=wHx(t)=v(θ0​)Hs(t)v(θ)+v(θ0​)Hn(t)=Ls(t)+wHn(t)
上述加权求和的操作，在相控阵中通常称为波束合成。符号“$H$”为共轭转置操作。故wHv(θ)=[e−jwτ1…e−jwτL]H[e−jwτ1…e−jwτL]=1+…+1=Lboldsymbol w^H boldsymbol v(theta)= begin{bmatrix} e^{-jwtau_1}\ …\ e^{-jwtau_L} end{bmatrix}^H begin{bmatrix} e^{-jwtau_1}\ …\ e^{-jwtau_L} end{bmatrix}=1+…+1=LwHv(θ)=​e−jwτ1​…e−jwτL​​​H​e−jwτ1​…e−jwτL​​​=1+…+1=L

确定信号功率和随机信号功率

对于确知信号$s(t)$
P=lim⁡T→∞1T∫−T2T2s2(t)dtP=lim_{T rightarrow infty }frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} s^2(t)dtP=T→∞lim​T1​∫−2T​2T​​s2(t)dt
若$s(t)$为复信号，则
P=lim⁡T→∞1T∫−T2T2s(t)s∗(t)dtP=lim_{T rightarrow infty }frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} s(t)s^*(t)dtP=T→∞lim​T1​∫−2T​2T​​s(t)s∗(t)dt

对于一个随机过程$\xi (t)$，其均值或数学期望定义
E[ξ(t)]=∫−∞∞xf1(x,t)dxEleft [ xi (t) right ]=int_{-infty }^{infty}xf_1(x,t)dxE[ξ(t)]=∫−∞∞​xf1​(x,t)dx
常记为$a(t)$，其中f1(x,t)f_1(x,t)f1​(x,t)为$\xi (t)$的一维概率密度函数。
随机过程的方差定义为
D[ξ(t)]=E{[ξ(t)−a(t)]2}=E[ξ2(t)]−a2(t)Dleft [ xi (t) right ]=Eleft { left [ xi (t)- a(t)right ] ^2right }=Eleft [ xi^2(t) right ]-a^2(t)D[ξ(t)]=E{[ξ(t)−a(t)]2}=E[ξ2(t)]−a2(t)
其常记为σ2(t)sigma ^2 (t)σ2(t)
D[ξ(t)]=∫−∞∞x2(t)f1(x,t)dx−[a(t)]2Dleft [ xi (t) right ]=int_{-infty}^{infty} x^2(t)f_1(x,t)dx-[a(t)]^2D[ξ(t)]=∫−∞∞​x2(t)f1​(x,t)dx−[a(t)]2
故方差等于均方值与均值平方之差。前者为交流功率，后者为直流功率。通常$x(t)$为交流信号，故其信号功率就是方差。
另外有
P=∫−∞∞P(f)df，P(f)为功率谱密度P=int_{-infty}^{infty}P(f)df，P(f)为功率谱密度 P=∫−∞∞​P(f)df，P(f)为功率谱密度

数字波束合成 （Digital Beam Forming，DBF）

相控阵方向图

根据阵列天线方向图乘积定理，方向图等于阵元因子与阵因子的乘积。
P(θ,ϕ)=PE(θ,ϕ)PA(θ,ϕ)P(theta,phi)=P_E(theta,phi)P_A(theta,phi)P(θ,ϕ)=PE​(θ,ϕ)PA​(θ,ϕ)
通常假设阵元都是相同的全向天线，故PE(θ,ϕ)=1P_E(theta,phi)=1PE​(θ,ϕ)=1
由输出信号与接收信号的关系为y(t)=wHx(t)y(t)=boldsymbol w^Hboldsymbol x(t)y(t)=wHx(t)
y(t)y∗(t)dt=wHs(t)v(θ)s∗(t)[wHv(θ)]∗=∣s(t)∣2⋅∣wHs(t)v(θ)∣2y(t)y^*(t)dt=boldsymbol w^H s(t) boldsymbol v(theta) s^*(t) [boldsymbol w^Hboldsymbol v(theta)]^* = |s(t)|^2 cdot |boldsymbol w^H s(t) boldsymbol v(theta) |^2y(t)y∗(t)dt=wHs(t)v(θ)s∗(t)[wHv(θ)]∗=∣s(t)∣2⋅∣wHs(t)v(θ)∣2
其中$\ast$对于矩阵或矢量而言即为$H$，反之$H$对于复数而言即是$\ast$。
若Pi=1P_i=1Pi​=1，则输出信号功率表示为
P(θ)=∥wHv(θ)∥2P(theta)=begin{Vmatrix} boldsymbol w^Hboldsymbol v(theta) end{Vmatrix}^2P(θ)=​wHv(θ)​​2
则场强方向图表示为
B(θ)=∥wHv(θ)∥B(theta)=begin{Vmatrix} boldsymbol w^Hboldsymbol v(theta) end{Vmatrix}B(θ)=​wHv(θ)​​
式中，符号$\Vert \begin{array}{}\end{array}\Vert$为2-范数。

相控阵的信噪比

输出信号$y(t)=Ls(t)$的功率
Pso=1T∫y(t)y∗(t)dt=1T∫Ls(t)Ls∗(t)dt=L21T∫s(t)s∗(t)dt=L2PsiP_{so}=frac{1}{T}int y(t)y^*(t)dt=frac{1}{T}int Ls(t)Ls^*(t)dt=L^2frac{1}{T}int s(t)s^*(t)dt=L^2 P_{si}Pso​=T1​∫y(t)y∗(t)dt=T1​∫Ls(t)Ls∗(t)dt=L2T1​∫s(t)s∗(t)dt=L2Psi​
噪声功率
由y(t)=)=Ls(t)+wHn(t)y(t)=)=Ls(t)+boldsymbol w^H boldsymbol n(t)y(t)=)=Ls(t)+wHn(t)，移相不改变噪声功率。
Pno=LPniP_{no}=L P_{ni}Pno​=LPni​
其可用等效噪声温度描述。
故
SNRo=PsoPno=LPsiPniSNR_o = frac{P_{so}}{P_{no}}=Lfrac{P_{si}}{P_{ni}}SNRo​=Pno​Pso​​=LPni​Psi​​

相控阵的优点

抗干扰、多波束、宽带。