简介
图1：一个二阶系统的波特图波特图（英语：Bode plot，“Bode”的英文发音类似Boh-dee，荷兰文的发音则类似Bow-dah），又名伯德图，是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数座标图，其横轴频率以对数尺度表示，利用波特图可以看出系统的频率响应。波特图一般是由二张图组合而成，一张幅频图表示频率响应增益的分贝值对频率的变化，另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。波特图可以用电脑软件（如MATLAB）或仪器绘制，也可以自行绘制。利用波特图可以看出在不同频率下，系统增益的大小及相位，也可以看出大小及相位随频率变化的趋势。波特图的图形和系统的增益，极点、零点的个数及位置有关，只要知道相关的资料，配合简单的计算就可以画出近似的波特图，这是使用波特图的好处。
简介
波特图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克·韦德·波德在1930年发明。波德用简单但准确的方法绘制增益及相位的图，因此他发明的图也就称为波特图。
波特图幅频图的频率用对数尺度表示，增益部分一般都用功率的分贝值来表示，也就是将增益取对数后再乘以10。由于增益用对数来表示，因此一传递函数乘以一常数，在波德增益图只需将图形的纵向移动即可，二传递函数的相乘，在波德幅频图就变成图形的相加。幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区，反之属不稳定区：
log ( a ⋅ b ) = log ( a ) + log ( b ) . {displaystyle log(acdot b)=log(a)+log(b). }
波特图相频图的频率也用对数尺度表示，而相位部分的单位一般会使用度。配合波德相频图可以估算一信号进入系统后，输出信号及原始信号的比例关系及相位。例如一个Asin(ωt) 的信号进入系统后振幅变原来的k倍，相位落后原信号Φ，则其输出信号则为(A k) sin(ωt − Φ)，其中的k和Φ都是频率的函数。相频图纵轴-180度以上具有正相位裕度、属稳定区，反之属不稳定区
若将系统的增益以复数表示，则复数增益取对数后的虚部即为相位，因此二传递函数的相乘，在波德相位图上也是图形的相加。
图2：一阶（单极点）高通滤波器的波特图，其中用直线近似的相位部分，在低频时是90度，高频率是0度，中间部分的相位则随频率线性变化
以下考虑有一个极点的高通滤波器、如图2：
T H i g h ( f ) = j f / f 1 1 + j f / f 1 , {displaystyle mathrm {T_{High}} (f)={frac {jf/f_{1}}{1+jf/f_{1}}} ,}
其中 f 是频率，f1是极点的位置，单位都是Hz。图中f1 = 100 Hz。此传输函数的绝对值为：
| T H i g h ( f ) | = f / f 1 1 + ( f / f 1 ) 2 , {displaystyle left|mathrm {T_{High}} (f)right|={frac {f/f_{1}}{sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}}, }
其相位为：
φ T H i g h = 90 ∘ − tan − 1 ( f / f 1 ) . {displaystyle varphi _{T_{High}}=90^{circ }-tan ^{-1}(f/f_{1}). }
由于波德相位图的纵轴相位使用角度而不是弪度，需要使用对应角度的反正切函数。波德增益图的纵轴是转换函数的分贝，其数值如下：
20 log 10 | T H i g h ( f ) | = 20 log 10 ( f / f 1 ) − 20 log 10 ( 1 + ( f / f 1 ) 2 ) . {displaystyle {begin{aligned}20log _{10}left|mathrm {T_{High}} (f)right|&=20log _{10}left(f/f_{1}right)\&quad -20log _{10}left({sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}right).end{aligned}}}
如下图3是一个单一极点低通滤波器的波特图：
T L o w ( f ) = 1 1 + j f / f 1 . {displaystyle mathrm {T_{Low}} (f)={frac {1}{1+jf/f_{1}}}. }
于图3中也有用直线近似的波特图，常在自行绘制波特图时使用，其原理会在后面的章节中说明。
波特图的增益和相位很难单独的变动、二者会互相牵扯，当调整系统的增益响应时，系统的相位响应也会随之变化，反之亦然。最小相位系统的增益和相位特性之间可以用希尔伯特转换来转换，因此知道其中一项即可求出另外一项。
若转换函数是有理函数，其零点及极点均为实数，则其波特图可以用几条渐近线的直线来近似，利用简单的规则即可以徒手绘制。若近似的波特图再修正每个截止频率时的增益值，则其近似值会更接近实际值。
波特图手绘的规则
波特图的前提就是可以处理以下型式函数的对数值：
f ( x ) = A ∏ ( x + c n ) a n {displaystyle f(x)=Aprod (x+c_{n})^{a_{n}}}
上述函数的对数值可以转换为极点及零点对数的和：
log ( f ( x ) ) = log ( A ) + ∑ a n log ( x + c n ) . {displaystyle log(f(x))=log(A)+sum a_{n}log(x+c_{n}).}
在绘制波德相位图时直接使用了上述的概念。增益图的绘制时则是以此概念为基础，因为每个极点或零点其增益的对数均从0开始，而且其渐近线只有一个转折点，因此绘制时可以再作简化。
直线近似的增益图
波特图增益分贝值一般都利用 20 log 10 ( X ) {displaystyle 20log _{10}(X)} 的公式。考虑以下的转换函数：
H ( s ) = A ∏ ( s + x n ) a n ( s + y n ) b n {displaystyle H(s)=Aprod {frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}}
其中 x n {displaystyle x_{n}} 及 y n {displaystyle y_{n}} 是常数， s = j ω {displaystyle s=jomega } , 0}”> a n , b n > 0 {displaystyle a_{n},b_{n}>0} ，而H是转换函数。
在每个对应 ω = x n {displaystyle omega =x_{n}} （零点）的位置，将直线的斜率增加 20 ⋅ a n d B {displaystyle 20cdot a_{n} dB} /十倍频。
在每个对应 ω = y n {displaystyle omega =y_{n}} （极点）的位置，将直线的斜率减少 20 ⋅ b n d B {displaystyle 20cdot b_{n} dB} /十倍频。
图在起始点时的增益值，可以依照图中的角频率下限，计算其对应的|H(jω)|。
图在起始点时的斜率则依照有多少零点及极点低于角频率下限，再依上述二个方式计算斜率，若所有点及极点均高于角频率下限，起始点时的斜率为零。
在处理无法分解的二次多项式 a x 2 + b x + c {displaystyle ax^{2}+bx+c } 时，多半可以用 ( a x + c ) 2 {displaystyle ({sqrt {a}}x+{sqrt {c}})^{2}} 的方式近似。
修正后的增益图
直线近似的增益图可以用以下方式修正：
针对每个零点，在直线上方 3 ⋅ a n d B {displaystyle 3cdot a_{n} mathrm {dB} } 的位置增加一点。
针对每个极点，在直线下方 3 ⋅ a n d B {displaystyle 3cdot a_{n} mathrm {dB} } 的位置增加一点。
以原来的直线为渐近线绘制平滑曲线，通过上述各点，即为修正后的增益图。
上述的修正方式只针对实数的极点或零点。若 x n {displaystyle x_{n}} 或 y n {displaystyle y_{n}} 为复数时，比较好的作法仍是找出无法分解的二次式，计算其在零点（或极点）附近的数值，再依数值决定要在直线上方或下方加点。
直线近似的相位图
考虑一个以下型式的传递函数：
H ( s ) = A ∏ ( s + x n ) a n ( s + y n ) b n {displaystyle H(s)=Aprod {frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}}
可以先依每个极点及零点分别绘制相位图，再将各相位图相加。相位图的曲线为以下的反正切函数 − a r c t a n ( I m / R e ) {displaystyle -mathrm {arctan} (mathrm {Im} /mathrm {Re} )} 。
在绘制相位图时，针对每个极点及零点：
若A为正数，其对应的相位图是0度的水平线。
若A为负数，其对应的相位图是180度的水平线。
对每个稳定的零点 ω = x n {displaystyle omega =x_{n}} （其零点满足 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle Re(z) R e ( z ) < 0 {displaystyle Re(z)<0} ，即0}”> R e ( x n ) > 0 {displaystyle Re(x_{n})>0} ），低于 ω = x n 10 {displaystyle omega ={frac {x_{n}}{10}}} 的部分为相位为0度的水平线，之后的直线斜率为+ 45 ⋅ a n {displaystyle 45cdot a_{n}} 度/十倍频，到 ω = 10 ⋅ x n {displaystyle omega =10cdot x_{n}} 为止，该点的相位为+ 90 ⋅ a n {displaystyle 90cdot a_{n}} 度，超过此频率的部分为相同相位的水平线。
对每个稳定的极点 ω = y n {displaystyle omega =y_{n}} （其极点满足 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle Re(p) R e ( p ) < 0 {displaystyle Re(p)<0} ，即0}”> R e ( y n ) > 0 {displaystyle Re(y_{n})>0} ），低于 ω = y n 10 {displaystyle omega ={frac {y_{n}}{10}}} 的部分为相位为0度的水平线，之后的直线斜率为- 45 ⋅ b n {displaystyle 45cdot b_{n}} 度/十倍频，到 ω = 10 ⋅ y n {displaystyle omega =10cdot y_{n}} 为止，该点的相位为- 90 ⋅ b n {displaystyle 90cdot b_{n}} 度，超过此频率的部分为相同相位的水平线。
若是不稳定的零点（或极点），其相位增加或减少的趋势恰与上述相反。
将所有的相位图相加，即为传递函数的完整相位图。
简易传递函数的波特图趋势
以下是常见简易传递函数的波特图趋势：
K {displaystyle K} 20 ⋅ log | K | {displaystyle 20cdot log {|K|}} 若 K > 0，相位为 0
若 K < 0，相位为180度 s ω 0 {displaystyle {frac {s}{omega _{0}}}} 斜率+20dB/十倍频的斜线， ω = ω 0 {displaystyle omega =omega _{0}} 的增益为0dB固定为+90度 ω 0 s {displaystyle {frac {omega _{0}}{s}}} 斜率-20dB/十倍频的斜线， ω = ω 0 {displaystyle omega =omega _{0}} 的增益为0dB固定为-90度 1 + s ω 0 {displaystyle 1+{frac {s}{omega _{0}}}}
（稳定零点） ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以下增益为0dB水平线， ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以上则以+20 dB/十倍频的斜率上升 ω 0 10 {displaystyle {frac {omega _{0}}{10}}} 以下相位为0度水平线， 10 ω 0 {displaystyle 10omega _{0}} 以上相位为+90度水平线，中间以+45度/十倍频的斜线上升， ω = ω 0 {displaystyle omega =omega _{0}} 的相位为+45度 1 1 + s ω 0 {displaystyle {frac {1}{1+{frac {s}{omega _{0}}}}}}
（稳定极点） ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以下增益为0dB水平线， ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以上则以-20 dB/十倍频的斜率下降 ω 0 10 {displaystyle {frac {omega _{0}}{10}}} 以下相位为0度水平线， 10 ω 0 {displaystyle 10omega _{0}} 以上相位为-90度水平线，中间以-45度/十倍频的斜线下降， ω = ω 0 {displaystyle omega =omega _{0}} 的相位为-45度 1 − s ω 0 {displaystyle 1-{frac {s}{omega _{0}}}}
（不稳定零点） ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以下增益为0dB水平线， ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以上则以+20 dB/十倍频的斜率上升 ω 0 10 {displaystyle {frac {omega _{0}}{10}}} 以下相位为0度水平线， 10 ω 0 {displaystyle 10omega _{0}} 以上相位为-90度水平线，中间以-45度/十倍频的斜线下降， ω = ω 0 {displaystyle omega =omega _{0}} 的相位为-45度 − 1 1 − s ω 0 {displaystyle -{frac {1}{1-{frac {s}{omega _{0}}}}}}
（不稳定极点） ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以下增益为0dB水平线， ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以上则以-20 dB/十倍频的斜率下降 ω 0 10 {displaystyle {frac {omega _{0}}{10}}} 以下相位为0度水平线， 10 ω 0 {displaystyle 10omega _{0}} 以上相位为+90度水平线，中间以+45度/十倍频的斜线上升， ω = ω 0 {displaystyle omega =omega _{0}} 的相位为+45度 1 1 + 2 d s ω 0 + s 2 ω 0 2 {displaystyle {frac {1}{1+2d{frac {s}{omega _{0}}}+{frac {s^{2}}{omega _{0}^{2}}}}}} ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以下增益为0dB水平线， ω 0 {displaystyle omega _{0}} 以上则以-40 dB/十倍频的斜率下降 ω 0 10 {displaystyle {frac {omega _{0}}{10}}} 以下相位为0度水平线， 10 ω 0 {displaystyle 10omega _{0}} 以上相位为-180度水平线，中间区域的特性则随d不同而不同
举例
图3：一阶（单极点）低通滤波器的波特图；其中在近似直线的部分标上“波德极点”；相位为-90°低于图2（相位为+90°）、起因于在所有频率时相位的表现为 0°。
考虑以下的低通RC电路、如图3，其频域的转换函数如下：
H ( j f ) = 1 1 + j 2 π f R C . {displaystyle H(jf)={frac {1}{1+j2pi fRC}}.}
由转换函数可以得到其截止频率fc（以Hz为单位）为
f c = 1 2 π R C {displaystyle f_{mathrm {c} }={1 over {2pi RC}}}
另一种等效表示法为
ω c = 1 R C {displaystyle omega _{mathrm {c} }={1 over {RC}}}
其中 ω c = 2 π f c {displaystyle omega _{mathrm {c} }=2pi f_{mathrm {c} }} 为截止角频率，单位是弧度每秒。
以角频率表示的转换函数如下
H ( j ω ) = 1 1 + j ω ω c . {displaystyle H(jomega )={1 over 1+j{omega over {omega _{mathrm {c} }}}}.}
上述的方程式是一个正规化