2021年考研数二线性代数

一 选择题 (每小题5分)

1. 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x3−x1)2f(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2)^2 + (x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2f(x1​,x2​,x3​)=(x1​+x2​)2+(x2​+x3​)2−(x3​−x1​)2的正惯性指数与负惯性指数依次为

   A) 2, 0. B) 1,1. C) 2,1. D) 1,2.

2. 设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)A=(alpha_1, alpha_2,alpha_3)A=(α1​,α2​,α3​), B=(β1,β2,β3)B=(beta_1, beta_2, beta_3)B=(β1​,β2​,β3​), 若向量组α1,α2,α3alpha_1, alpha_2, alpha_3α1​,α2​,α3​可以由β1,β2beta_1, beta_2β1​,β2​线性表出, 则

   A) Ax=0的解均为Bx=0的解

   B) ATx=0A^Tx=0ATx=0的解均为BTx=0B^Tx=0BTx=0的解.

   C) Bx=0的解均为Ax=0的解.

   D) BTx=0B^Tx=0BTx=0的解均为ATx=0A^Tx=0ATx=0的解.

3. 已知矩阵A=(10−12−11−12−5)A=begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 \ 2 & -1 & 1\ -1 & 2 & -5 end{pmatrix}A=⎝⎛​12−1​0−12​−11−5​⎠⎞​若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q, 使PAQ为对焦矩阵, 则P, Q可以分别取

   A) (100010001)begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\0&0&1 end{pmatrix}⎝⎛​100​010​001​⎠⎞​,(101013001)begin{pmatrix} 1 & 0&1\ 0& 1&3\0&0&1end{pmatrix}⎝⎛​100​010​131​⎠⎞​. B) (1002−10−321)begin{pmatrix}1&0&0\ 2& -1& 0\ -3&2&1 end{pmatrix}⎝⎛​12−3​0−12​001​⎠⎞​,(100010001)begin{pmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\0&0&1end{pmatrix}⎝⎛​100​010​001​⎠⎞​.

   C) (1002−10−321)begin{pmatrix} 1&0&0\2&-1&0\-3&2&1end{pmatrix}⎝⎛​12−3​0−12​001​⎠⎞​,(101013001)begin{pmatrix}1&0&1\0&1&3\0&0&1 end{pmatrix}⎝⎛​100​010​131​⎠⎞​. D) (100010131)begin{pmatrix} 1&0&0\0&1&0\ 1&3&1end{pmatrix}⎝⎛​101​013​001​⎠⎞​,(12−30−12001)begin{pmatrix} 1&2 &-3\0&-1&2\0&0&1end{pmatrix}⎝⎛​100​2−10​−321​⎠⎞​.

二 填空题

1. 多项式f(x)=∣xx12x1x2−121×12−11x∣f(x)=begin{vmatrix}x&x&1&2x\1&x&2&-1\2&1&x&1\2&-1&1&x end{vmatrix}f(x)=∣∣∣∣∣∣∣∣​x122​xx1−1​12x1​2x−11x​∣∣∣∣∣∣∣∣​中x3x^3x3项的系数为___________________________.(6分)

三 解答题

1. 设矩阵A=(2101201ab)A=begin{pmatrix}2&1&0\1&2&0\1&a&b end{pmatrix}A=⎝⎛​211​12a​00b​⎠⎞​仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵, 求$a,b$的值, 并求可逆矩阵P, 使得P−1APP^{-1}APP−1AP为对角矩阵.(12分)

解析: 本题主要考察考生对一般矩阵相似对角化的理论的掌握.所涉及知识点包括:

• 特征值和特征向量(基础知识)

• 一般矩阵相似对角化理论: 如果一个矩阵所有特征值互异, 则一定可以相似对角化; 当一个矩阵存在k重特征值时, 只要k重特征值对应k个线形无关的特征向量, 那么该矩阵依然可以相似对角化.

解答:

∣2−λ1012−λ01ab−λ∣begin{vmatrix} 2-lambda&1&0\ 1& 2-lambda&0\1&a&b-lambdaend{vmatrix}∣∣∣∣∣∣​2−λ11​12−λa​00b−λ​∣∣∣∣∣∣​=$(b-\lambda )(\lambda -1)(\lambda -3)$

因为矩阵A仅有两个不同的特征值, 所以当1为重特征值时, λ1=λ2=1,λ3=3lambda_1=lambda_2=1, lambda_3=3λ1​=λ2​=1,λ3​=3, 则b=1. 此时

(A−E)=(1101101a1)→(1101a1000)(A-E)=begin{pmatrix}1&1&0\1&1&0\1&a&1 end{pmatrix}rightarrowbegin{pmatrix}1&1&0\1&a&1\0&0&0 end{pmatrix}(A−E)=⎝⎛​111​11a​001​⎠⎞​→⎝⎛​110​1a0​010​⎠⎞​→(1100a−11000)rightarrow begin{pmatrix}1&1&0\ 0&a-1&1\0&0&0end{pmatrix}→⎝⎛​100​1a−10​010​⎠⎞​

则r(A-E)=2, 这就意味着矩阵A的二重特征值为1时, 只能由一个线形无关的特征向量, 矩阵A不能相似于对角阵. 与已知矛盾.

那么可以选择λ1=1,λ2=λ3=3lambda_1=1, lambda_2=lambda_3=3λ1​=1,λ2​=λ3​=3, 则b=3. 此时

(A−3E)=(−1101−101a0)(A-3E)=begin{pmatrix}-1&1&0\1&-1&0\1&a&0end{pmatrix}(A−3E)=⎝⎛​−111​1−1a​000​⎠⎞​→(1−101a0000)rightarrow begin{pmatrix} 1&-1&0\ 1&a&0\0&0&0end{pmatrix}→⎝⎛​110​−1a0​000​⎠⎞​→(1−100a+10000)rightarrow begin{pmatrix} 1&-1&0\ 0&a+1&0\0&0&0end{pmatrix}→⎝⎛​100​−1a+10​000​⎠⎞​

则当$r(A-3E)=1$时, 二重特征值3就对应两个线形无关的特征向量, 此时$a=-1$.

因此就可以得到:$a=-1,b=3$ . 此时矩阵A=(2101201−13)A=begin{pmatrix}2&1&0\1&2&0\1&-1&3end{pmatrix}A=⎝⎛​211​12−1​003​⎠⎞​

当λ1=1lambda_1=1λ1​=1时, 求得其对应的特征向量为ζ1=(−1,1,1)Tzeta_1=(-1, 1, 1)^Tζ1​=(−1,1,1)T

当λ2=λ3=3lambda_2=lambda_3=3λ2​=λ3​=3时, 求得其对应的线形无关的特征向量为ζ2=(1,1,0)T,ζ3=(0,0,1)Tzeta_2=(1,1,0)^T, zeta_3=(0,0,1)^Tζ2​=(1,1,0)T,ζ3​=(0,0,1)T

令P=(ζ1,ζ2,ζ3)=(−110110101)P=(zeta_1, zeta_2, zeta_3)=begin{pmatrix} -1&1&0\1&1&0\1&0&1end{pmatrix}P=(ζ1​,ζ2​,ζ3​)=⎝⎛​−111​110​001​⎠⎞​则有P−1AP=(133)P^{-1}AP=begin{pmatrix} 1&&\&3&\&&3end{pmatrix}P−1AP=⎝⎛​1​3​3​⎠⎞​为对角阵.

说明:

1. 试题转自中国考研网.
2. 转载的目的为了教学使用.