非线性控制系统

• 概述
• 非线性系统的特点
• • 典型非线性特性
  • • 饱和特性
    • 死区特性
    • 间隙特性
    • 继电器特性
  • 非线性系统的运动特点
  • • 稳定性分析复杂
    • 系统的零输入响应形式
    • 自激振荡(极限环)
    • 频率响应
• 相平面分析法
• • 基本概念
  • 相平面图的绘制方法
  • 相平面图的特点
  • • 相平面图的对称性
    • 相平面图上的奇点和普通点
    • 相轨迹通过x轴的斜率
    • 相轨迹移动的方向
  • 解析法绘制相平面图
  • 绘制相平面图的图解法——等倾线法
  • 由相轨迹求时间响应曲线
  • 奇点和极限环
  • • 奇点
    • 极限环
  • 具有非线性增益控制系统的分析
  • • 阶跃响应分析
    • 斜坡响应分析
    • 时间最优控制系统的分析及综合
• 描述函数分析法
• • 基本概念
  • • 基本原理
    • 谐波线性化
    • 描述函数
  • 典型非线性特性的描述函数
  • • 饱和特性
    • 死区特性
    • 间隙特性
    • 继电器特性
    • • 具有死区和滞环的继电器
      • 双位继电器
      • 三位继电器
      • 具有滞环的继电器
  • 用描述函数法分析非线性系统
  • • 描述函数法的应用条件
    • 非线性系统的稳定性分析
  • 非线性系统的简化

概述

非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形式，不能应用叠加原理。由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解，通常采用工程上适用的近似方法。
（1）相平面法
一种图解分析方法，适用于具有严重非线性特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。
（2）描述函数法
一种等效线性化的图解分析方法，该方法对于满足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
（3）逆系统法
运用内环非线性反馈控制，构造伪线性系统，以此为基础，设计外环控制网络，该方法直接应用数学工具研究非线性控制问题，是非线性系统研究的一个发展方向。但是，这些方法主要是解决非线性系统的“分析”问题，且以稳定性问题为主展开的。非线性系统的“综合”方法的研究成果远不如稳定性问题研究所取得的成果。

非线性系统的特点

典型非线性特性

饱和特性

死区特性

间隙特性

继电器特性

非线性系统的运动特点

稳定性分析复杂

在研究非线性系统的稳定性问题时，必须要明确两点：
a.指明给定系统的初始状态或输入信号
b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的稳定性。

系统的零输入响应形式

线性系统的零输入响应形式与系统初始状态的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调收敛、振荡收敛或振荡发散等。

自激振荡(极限环)

实际的线性系统要维持振幅A和角频率 $\omega$不变的等幅周期振荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即使很微小的变化，也将导致$\zeta$≠0 ；二是假定系统的参数不变，$\zeta$≡ 0 ，然而，系统不可避免地会受到扰动，将使响应的振幅A发生变化，因此，原来的等幅周期振荡不复存在。
有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。如果非线性系统有一个稳定的极限环，则它的振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。

频率响应

在正弦输入信号作用下，非线性系统呈现出一些在线性系统中见不到的特殊现象，诸如跳跃谐振和多值响应、倍频振荡和分频振荡、频率捕捉(跟踪)现象等。

相平面分析法

相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、斜坡或脉冲信号等)的二阶系统。

基本概念

如果以相变量和 x1x_1x1​为x2x_2x2​坐标构成平面，称为相平面，则系统在某一时刻t1的状态就成为相平面上的一个点(x1(t),x2(t))(x_1(t),x_2(t))(x1​(t),x2​(t))。在相平面上，由(x1,x2)(x_1,x_2)(x1​,x2​)或(x,x˙)(x,dot{x})(x,x˙)以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹。图 (b)对应图 (a)绘出了相应的相轨迹。相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。若以一些初始状态作为起始点，在相平面上做出一簇相轨迹，称为系统的相平面图，如图（c）所示。图中用实线表示了二阶线性系统过阻尼时在三种不同初始条件下的相轨迹，其余用虚线表示了在其它初始条件下的相轨迹，它们共同构成一幅相平面图，它清晰地表明系统在各种初始条件下的运动过程。

相平面图的绘制方法

式中给出了相轨迹通过点的斜率，根据此式，用解析法国图解法即可绘制出相平面图。

相平面图的特点

相平面图的对称性

相平面图往往是关于原点或坐标轴对称的，故绘制时可只画其中的一部分， 而另一部分可根据对称原理添补上。
若相平面图关于纵轴对称，则相轨迹曲线在(x,x˙)(x,dot{x})(x,x˙)和 (−x,x˙)(-x,dot{x})(−x,x˙)点上的斜率相等，符号相反。即f(x,x˙)f(x,dot{x})f(x,x˙)是关于x的奇函数。
若相平面图关于x轴对称，f(x,x˙)f(x,dot{x})f(x,x˙)是关于x˙dot{x}x˙的偶函数。
若相平面图关于原点对称，则相轨迹曲线在(x,x˙)(x,dot{x})(x,x˙)和 (−x,−x˙)(-x,-dot{x})(−x,−x˙)点上的斜率相等，符号相等。即f(x,x˙)=−f(−x,−x˙)f(x,dot{x})=-f(-x,-dot{x})f(x,x˙)=−f(−x,−x˙)。

相平面图上的奇点和普通点

相轨迹通过x轴的斜率

在x轴上，所有点都满足x˙=0dot{x}=0x˙=0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为

所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。

相轨迹移动的方向

在相平面的上半平面，x随着参变量时间t的加而增大，所以系统状态沿相轨迹由左向右运动；反之，下半平面，x随着时间t的增加而减小，所以系统态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向相轨迹上的箭头表示。

解析法绘制相平面图

微分方程简单能直接求解，则求出x˙=g(x)dot{x}=g(x)x˙=g(x)，给定不同的初始条件，直接绘制相平面图。
若系统微分方程不能直接积分求解，则可先求得时间解 $x(t)$，x˙(t)dot{x}(t)x˙(t)，然后消去变量t求得相轨迹方程。若消去t有困难或过于烦杂，则可求得不同t时的$x$，x˙dot{x}x˙值，据此数值关系画出相轨迹曲线。

绘制相平面图的图解法——等倾线法

由相轨迹求时间响应曲线

平均速度法

奇点和极限环

奇点

在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因此奇点就是系统的平衡点。

极限环

包括稳定极限环、不稳定极限环、半稳定极限环

一般情况下，极限环使系统性能变坏，或是产生自激振荡，或是稳定范围减小。在系统设计中应避免产生极限环。若极限环不可避免，则应尽可能使稳定极限环缩小，使自激振荡的幅度在允许范围之内；或者应尽可能使不稳定极限环加大，以扩大系统稳定范围。在某些特殊情况下，可以利用系统的自激振荡(信号发生器)产生周期性运动。

具有非线性增益控制系统的分析

当误差｜e｜>e0时，N具有较大增益，以保证系统的快速性；当｜e｜<e0而接近稳态值时，增益较小以防止超调过大。采用非线性增益后，有可能获得较理想的响应曲线。

阶跃响应分析

虽然响应曲线是振荡的，但超调量，振荡次数都减小很多。

斜坡响应分析

略

时间最优控制系统的分析及综合

当t＞0时，控制器应给出信号，使系统以加速，此时电动机的速度以直线上升。为使当系统输出c = R时,也同时为零而结束响应过程，要求在c到达R值之前的适当时刻，控制器就给出信号，使系统以减速，以直线下降。当c = R时，恰好使=0，这时控制器给出零信号，阶跃响应过程结束。

描述函数分析法

相平面法适用于一阶或二阶非线性系统的分
析，但对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。描述函数法不受系统阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故在非线性系统分析中得到了广泛的应用。

基本概念

基本原理

当系统满足一定条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，表达形式上类似于线性理论中的幅相频率特性。

谐波线性化

系统中常见的非线性特性，当输入为正弦函数时，其输出一般为同周期的非正弦函数。

描述函数

典型非线性特性的描述函数

饱和特性

饱和特性描述函数为：

死区特性

间隙特性

继电器特性

具有死区和滞环的继电器

描述函数：

双位继电器

描述函数：

三位继电器

描述函数：

具有滞环的继电器

描述函数：

用描述函数法分析非线性系统

描述函数法的应用条件

1. 非线性系统能简化成一个非线性环节和一个线性部分且闭环连接 的典型结构形式。
2. 非线性环节输入输出特性y(x)应是x的奇函数，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即A0=0A_0=0A0​=0
3. 系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。当非线性环节的输入为正弦信号时，实际输出必定含有高次谐波分量，但经线性部分传递之后，由于低通滤波的作用，高次谐波分量将被大大削弱，从而保证描述函数法所分析的结果比较准确。

非线性系统的稳定性分析

非线性系统的简化

简化的原则是在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、并联实际情况，先将非线性部分化为一个等效非线性环节，然后保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简化线性部分。