文章目录

• 一些定义
• • 不动元, 不动域
• Artin引理
• 正规扩张和可分扩张
• Galois群
• Galois基本定理
• • 推论
• 主要参考

一些定义

不动元, 不动域

• 设$G$是域$E$的自同构群$\text{Aut}(E)$的任意一个子群, 元素$\alpha \in E$. 如果任取$\sigma \in G$, 都有$\sigma (\alpha )=\alpha$, 那么就称$\alpha$为$G$的一个不动元(invariant element).

• 群$G$的不动元的集合
  Inv(G)={α∈E∣σ(α)=α,∀σ∈G}text{Inv}(G)={alphain E,|,sigma(alpha)=alpha,,forallsigmain G} Inv(G)={α∈E∣σ(α)=α,∀σ∈G}
  构成$E$的一个子域, 称为$G$的不动域(invariant field). 不动域也表示为EGE^GEG​.

• Galois扩张: 如果域扩张$E/F$的伽罗瓦群$\text{Gal}(E/F)$的不动域恰好等于$F$, 称$E/F$是一个伽罗瓦扩张.

• 设$E$是$F$的Galois扩张, $L$是一个中间域, 任取$\sigma \in \text{Gal}(E/F)$, 称$\sigma (L)$为$L$的共轭子域(conjugate subfield).

Artin引理

设$E$是一个域, $G$是$E$的自同构群的一个有限子群, F=Inv(G)=EGF=text{Inv}(G)=E^GF=Inv(G)=EG是$G$的不动域, 则
[E:F]=[E:EG]⩽∣G∣.[E:F]=[E:E^G]leqslant|G|. [E:F]=[E:EG]⩽∣G∣.
证明:

设 $|G|=n$, G={id=ρ0,ρ1,…,ρn−1}G={text{id}=rho_0,,rho_1,, ldots,,rho_{n-1}}G={id=ρ0​,ρ1​,…,ρn−1​}, 则显然, 将 ρ1rho_1ρ1​作用在 $G$每个元素左边, $G$仍保持不变, 即
G={ρ1∘ρ0,ρ1∘ρ1,…,ρ1∘ρn−1},G={rho_1 circ rho_0,rho_1 circ rho_1, ldots , rho_1circ rho_{n_-1}}, G={ρ1​∘ρ0​,ρ1​∘ρ1​,…,ρ1​∘ρn−​1​},
欲证上述引理, 我们只需证, ∀α1,…,αn+1∈Eforall alpha_1, ldots ,alpha_{n+1}in E∀α1​,…,αn+1​∈E, 线性相关, 即$ exists k_1, ldots ,k_{n+1}in F,text{s.t.} $
k1α1+⋯+kn+1αn+1=0,k_1alpha_1+ cdots +k_{n+1}alpha_{n+1}=0, k1​α1​+⋯+kn+1​αn+1​=0,

其中 k1,…,kn+1k_1, ldots ,k_{n+1}k1​,…,kn+1​不全为 $0$.

令ρirho_iρi​作用在上式两端, 得到下面的$n$个$n+1$元方程:
k1ρi(α1)+⋯+kn+1ρi(αn+1)=0,i=0,…,n−1(1)k_1rho_i(alpha_1)+dots+k_{n+1}rho_i(alpha_{n+1})=0,,i=0,dots,n-1qquad (1) k1​ρi​(α1​)+⋯+kn+1​ρi​(αn+1​)=0,i=0,…,n−1(1)
于是我们只需证上式在$E$中有非零解.

而方程组$(1)$在$E$中的解设为$W$, 在EG=FE^G=FEG=F中的解设为W′W'W′, 下面分类讨论:

• $w\in W$,则令t=x1−1,tw∈Wt=x_1^{-1},twin Wt=x1−1​,tw∈W,于是
  (x1,…,xn+1)→(1,x2′…,xn+1′)∈W;(x_1,,…,x_{n+1})to(1,x_2'…,x_{n+1}')in W; (x1​,...,xn+1​)→(1,x2′​...,xn+1′​)∈W;

• w∉W,x2∉EG=Kwnotin W, x_2notin E^G=Kw​∈W,x2​​∈EG=K, 必∃ρ∗∈G,ρ∗(x2)≠x2exist rho^*in G,rho^*(x_2)ne x_2∃ρ∗∈G,ρ∗(x2​)​=x2​,
  w=(1,x2,…)∈W,ρ(w)=(1,ρ(x2),…,ρ(xn+1))∈Wbegin{aligned} w&=(1,x_2,…)in W,\ rho(w)&=(1,rho(x_2),…,rho(x_{n+1}))in W end{aligned} wρ(w)​=(1,x2​,...)∈W,=(1,ρ(x2​),...,ρ(xn+1​))∈W​

即$\rho (w)$是
k1ρ(ρi(α1))+…+kn+1ρ(ρi(αn+1))=0,(i=0,…,n−1)k_1rho(rho_i(alpha_1))+…+k_{n+1}rho(rho_i(alpha_{n+1}))=0,,(i=0,…,n-1) k1​ρ(ρi​(α1​))+...+kn+1​ρ(ρi​(αn+1​))=0,(i=0,...,n−1)
的解, 适当调整顺序后, 可知上式有非零解. 重复上面的步骤, 即可得知结论成立.

正规扩张和可分扩张

$E/K$为域扩张(有限),若[E:K]=♯Aut(E/K)=({ρ∣ρ:E→E的K−同构},∘)[E:K]=sharptext{Aut}(E/K)=({rho,|,rho:Eto E的K-同构},,circ)[E:K]=♯Aut(E/K)=({ρ∣ρ:E→E的K−同构},∘), 则$E/K$有如下性质:

1. ∀α1∈Eforallalpha_1in E∀α1​∈E, p1(x)p_1(x)p1​(x)为α1alpha_1α1​在 $K$ 上的极小多项式, 则p1(x)p_1(x)p1​(x)在$E$中必有deg⁡p1deg p_1degp1​个根,
   {a:p1(x)在E上分裂:正规扩张b:p1(x)在E上无重根:可分扩张begin{cases} a: p_1(x)在E上分裂: textbf{正规扩张}\ b: p_1(x)在E上无重根: textbf{可分扩张}\ end{cases} {a: p1​(x)在E上分裂:正规扩张b: p1​(x)在E上无重根:可分扩张​

Galois群

如果$E$是域$F$的一个扩张, $E$的$F-$自同构的集合
Gal(E/F)={σ∈Aut(E)∣σ∣F=id}text{Gal}(E/F)={sigmaintext{Aut}(E),|,sigma|_F=text{id}} Gal(E/F)={σ∈Aut(E)∣σ∣F​=id}
构成$\text{Aut}(E)$的一个子群, 称为$E$在$F$上的伽罗瓦群(Galois group).

Galois基本定理

设$E$ 是域$F$的一个伽罗瓦扩张, $G=\text{Gal}(E/F)$. 记H={H∣H⩽G}mathcal{H}={H,|,Hleqslant G}H={H∣H⩽G}, L={L∣F⊆L⊆E}mathcal{L}={L,|,Fsubseteq Lsubseteq E}L={L∣F⊆L⊆E}是$F$与$E$的中间域所成集合, 那么存在如下两个映射:
$$\text{Gal}:\mathcal{L}\to \mathcal{H},L\mapsto \text{Gal}(E/L),\text{Inv}:\mathcal{H}\to \mathcal{L},H\mapsto \text{Inv}(H),$$
满足如下的五条性质:

1. $\text{Gal}$和$\text{Inv}$互为逆映射, 因而均为一一映射;

2. 上述一一映射存在反包含关系: 子群H1,H2H_1,H_2H1​,H2​分别与中间域L1,L2L_1,,L_2L1​,L2​一一对应时,有
   H1⊇H2⟺L1⊆L2;H_1supseteq H_2iff L_1subseteq L_2; H1​⊇H2​⟺L1​⊆L2​;
   (下面的描述均满足子群与中间域的一一对应)

3. $[E:L]=|H|,[L:F]=[G:H]$;

4. $\forall \sigma \in G$, $H $的正规子群$sigma Hsigma^{-1}$与$L$的共轭子域$sigma(L)$一一对应;

5. $H⊴G$当且仅当$L$是$F$的伽罗瓦扩张, 这时有$\text{Gal}(L/F)\simeq G/H$.

推论

$E/K$为$\text{Gal}$的($K$的特征为0,且$[E:K]$有限), 则必存在$\alpha \in E$,使得$K(\alpha )=E$.

证明:

记X={K=M0,M1,…,Mn−1=E}X={K=M_0,M_1,…,M_{n-1}=E}X={K=M0​,M1​,...,Mn−1​=E}为$E/K$所有的中间域, 则

1. M0,…,Mn−2M_0,…,M_{n-2}M0​,...,Mn−2​为$X$真子集;
2. MiM_iMi​可以看成$E$($E$可以看成$K$上的线性空间)的真子线性空间;
3. 根据高等代数(丘维声创新教材下192页例题10)补充题∗{}^*∗有⋃i=0n−2Mi≠Ebigcuplimits_{i=0}^{n-2}M_ine Ei=0⋃n−2​Mi​​=E;
4. ∃α∈E,α∉Mi,i=0,…,n−2existalphain E,alphanotin M_i,i=0,…,n-2∃α∈E,α​∈Mi​,i=0,...,n−2, 则$K(\alpha )=E$.

*: 丘维声高等代数创新教材下192页例题10(北大版高等代数线性空间补充题最后一题)

• 设V1,V2,…,VsV_1,V_2,…,V_sV1​,V2​,...,Vs​都是域$F$上线性空间$V$的真子空间,证明: 如果域$F$的特征为$0$,那么
  V1∪V2∪⋯∪Vs≠V.V_1cup V_2cupcdotscup V_{s}ne V. V1​∪V2​∪⋯∪Vs​​=V.

利用数学归纳法及反证法.

当 $s=1$​时,显然有V1≠VV_1ne VV1​​=V成立;

设$s-1$时命题为真, 即
V1∪V2∪⋯∪Vs−1≠V,V_1cup V_2cupcdotscup V_{s-1}ne V, V1​∪V2​∪⋯∪Vs−1​​=V,
下面讨论$s$的情况:

根据上述假设, $V$中存在α∉V1∪V2∪⋯∪Vs−1alphanotin V_1cup V_2cupcdotscup V_{s-1}α​∈V1​∪V2​∪⋯∪Vs−1​, 若α∉Vsalphanotin V_sα​∈Vs​,命题成立.

若α∈Vsalphain V_sα∈Vs​, 因为Vs≠VV_sne VVs​​=V, 所以 ∃β∉Vsexistbetanotin V_s∃β​∈Vs​, 若β∉V1∪V2∪⋯∪Vs−1betanotin V_1cup V_2cupcdotscup V_{s-1}β​∈V1​∪V2​∪⋯∪Vs−1​, 则
β∉V1∪V2∪⋯∪Vs−1∪Vs,betanotin V_1cup V_2cupcdotscup V_{s-1}cup V_s, β​∈V1​∪V2​∪⋯∪Vs−1​∪Vs​,
命题成立, 下面设β∈V1∪V2∪⋯∪Vs−1betain V_1cup V_2cupcdotscup V_{s-1}β∈V1​∪V2​∪⋯∪Vs−1​.

由上述讨论知$\alpha ,\beta$不能同时属于Vi,i=1,2,…,s−1V_i,i=1,2,…,s-1Vi​,i=1,2,...,s−1, ∀kiforall k_i∀ki​, 考虑α+kiβalpha+k_ibetaα+ki​β, 若α+kiβ∈Vialpha+k_ibetain V_iα+ki​β∈Vi​, 则对其他k≠kikne k_ik​=ki​,有α+kβ∉Vialpha+kbetanotin V_iα+kβ​∈Vi​, 不然, 可以得出$\alpha ,\beta \in V$, 矛盾.

于是对于任一ViV_iVi​​, 最多只有一个kik_iki​​, 使得α+kiβ∈Vialpha+k_ibetain V_iα+ki​β∈Vi​, 取$k\in F$使k≠k1,k2,…,kskne k_1,k_2,…,k_sk​=k1​,k2​,...,ks​, 则α+kβ∉Vi,i=1,2,…,salpha+kbetanotin V_i,i=1,2,…,sα+kβ​∈Vi​,i=1,2,...,s​. 证毕.

关于这个例题的证明, 更详细的步骤可参考丘维声高等代数创新教材下,192页. 本文中参考了北大版高等代数的习题解答.

主要参考

1. 《近世代数》丘维声, 2015.
2. 《代数学基础(下)》张英伯,王恺顺, 2013.
3. 《高等代数》(北大第四版)王萼芳,石生明.
4. 《高等代数创新教材(下)》丘维声.