这又开启一个新的篇章了。数学分析，又叫微积分，研究对象是实数集上的函数。

首先，复习一下中学学的实数：

实数相关知识：

实数：

有理数：

• 可以用pq,(其中p、q都是整数，且q≠0)frac{p}{q},(其中p、q都是整数，且q neq 0)qp​,(其中p、q都是整数，且q̸​=0)表示。
• 可以用有限小数和无限循环小数表示。

无理数：

• 无限不循环的小数。

实数：

• 无理数+有理数

任何一个实数都可以表示成无限小数的形式：

设有一个正实数为：x=a0.a1a2a3……anx =a_0.a_1a_2a_3……a_nx=a0​.a1​a2​a3​......an​,则可以表示成为：x=a0.a1a2……(an−1)999……x = a_0.a_1a_2……(a_n-1)999……x=a0​.a1​a2​......(an​−1)999......,其中a0、a1、a2、a3、……ana_0、a_1、a_2、a_3、……a_na0​、a1​、a2​、a3​、......an​为正整数
0 可以表示成：$0.00000......$

设有x、y两个正实数，x=a0.a1a2……an……x = a_0.a_1a_2……a_n……x=a0​.a1​a2​......an​...... 、y=b0.b1b2……bn……y = b_0.b_1b_2……b_n……y=b0​.b1​b2​......bn​......

• x=y: a0=b0,a1=b1,…,an=bna_0=b_0 ,a_1=b_1,…,a_n=b_na0​=b0​,a1​=b1​,...,an​=bn​
• x>y: a0=b0,a1=b1,…,an=bna_0=b_0 ,a_1=b_1,…,a_n=b_na0​=b0​,a1​=b1​,...,an​=bn​,而an+1>bn+1a_{n+1} >b_{n+1}an+1​>bn+1​
• x<y: a0=b0,a1=b1,…,an=bna_0=b_0 ,a_1=b_1,…,a_n=b_na0​=b0​,a1​=b1​,...,an​=bn​,而an+1&lt;bn+1a_{n+1} &lt;b_{n+1}an+1​<bn+1​
• 对于负实数，相等同上，大于小于刚好反过来。

近似数：

• 与事实上的数比较为小的为不足近似：记为xn=a0.a1a2…anx_n=a_0.a_1a_2…a_nxn​=a0​.a1​a2​...an​
• 与事实上的数比较为大的为过剩近似：记为xn‾=xn+110overline{x_n} = x_n+frac{1}{10}xn​​=xn​+101​
• 负数表示
  • 不足近似：xn=xn‾+110x_n=overline{x_n}+frac{1}{10}xn​=xn​​+101​
  • 过剩近似：xn‾=a0.a1a2…anoverline{x_n} = a_0.a_1a_2…a_nxn​​=a0​.a1​a2​...an​

实数的性质：

• 1、对四则运算封闭
• 2、有序的
• 3、大小传递性
• 4、阿基米德性,对任意的$a,b$两个实数，总存在整数$n$，使得$na>b$
• 5、稠密性
• 6、与一条直线对应

绝对值：

• 这里说的绝对值就是中学的绝对值。

不等式：

1. $|a|=|-a|\ge 0$
2. $-|a|\le a\le |a|$
3. $|a|<h的充分必要条件是：-h<a<h$
4. $|a|\le h的充分必要条件是：-h\le a\le h$
5. 三角不等式：$|a|-|b|⩽|a\pm b|\le |a|+|b|$
6. |ab|=|a||b|
7. ∣a∣∣b∣=∣ab∣frac{|a|}{|b|}=|frac{a}{b}|∣b∣∣a∣​=∣ba​∣

确界原理：

有限区间：

• 开区间
• 闭区间
• 半开区间

无限区间：

带无穷号的

邻域：

设$a\in R,\delta >0$,
U(a;δ)={x∣∣x−a∣&lt;δ}=(a−δ,a+δ)U(a;delta )=left {xmid |x-a| &lt;delta right }=(a-delta ,a+delta )U(a;δ)={x∣∣x−a∣<δ}=(a−δ,a+δ)

• 左邻域：U−(a;δ)=[a,a+δ)U_-(a;delta )=[a,a+delta )U−​(a;δ)=[a,a+δ)
• 右邻域：U+(a;δ)=[a,a+δ)U_+(a;delta )=[a ,a+delta )U+​(a;δ)=[a,a+δ)
• 空心邻域：U0(a;δ)={x∣0&lt;∣x−a∣&lt;δ}U^0(a;delta )=left {xmid 0&lt;|x-a| &lt;delta right }U0(a;δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}

上下界：

• 集合里面的任意一个元素都小于一个实数M，称M为上界。
• 集合里面的任意一个元素都大于一个实数M，称M为下界。

有界集：

• 有上界且有下界

上下确界：

• 上确界：首先是上界，其次是最小上界
• 下确界：首先是下届，其次是最大下界

确界原理：

• 描述上下界与上下确界的关系。
• 条件：S为非空数集
• 内容
  • 有上界必有上确界
  • 有下界必有下确界
    -证明：略

-带有正无穷作为上确界称为非正常上确界，带负无穷符号的称为非正常下确界