这又开启一个新的篇章了。数学分析，又叫微积分，研究对象是实数集上的函数。
首先，复习一下中学学的实数：
实数相关知识：
实数：
有理数：
- 可以用pq,(其中p、q都是整数，且q≠0)frac{p}{q},(其中p、q都是整数，且q neq 0)qp,(其中p、q都是整数，且q̸=0)表示。
- 可以用有限小数和无限循环小数表示。
无理数：
- 无限不循环的小数。
实数：
- 无理数+有理数
任何一个实数都可以表示成无限小数的形式：
设有一个正实数为：x=a0.a1a2a3……anx =a_0.a_1a_2a_3……a_nx=a0.a1a2a3......an,则可以表示成为：x=a0.a1a2……(an−1)999……x = a_0.a_1a_2……(a_n-1)999……x=a0.a1a2......(an−1)999......,其中a0、a1、a2、a3、……ana_0、a_1、a_2、a_3、……a_na0、a1、a2、a3、......an为正整数
0 可以表示成：0.00000……0.00000……0.00000......
设有x、y两个正实数，x=a0.a1a2……an……x = a_0.a_1a_2……a_n……x=a0.a1a2......an...... 、y=b0.b1b2……bn……y = b_0.b_1b_2……b_n……y=b0.b1b2......bn......
- x=y: a0=b0,a1=b1,…,an=bna_0=b_0 ,a_1=b_1,…,a_n=b_na0=b0,a1=b1,...,an=bn
- x>y: a0=b0,a1=b1,…,an=bna_0=b_0 ,a_1=b_1,…,a_n=b_na0=b0,a1=b1,...,an=bn,而an+1>bn+1a_{n+1} >b_{n+1}an+1>bn+1
- x<y: a0=b0,a1=b1,…,an=bna_0=b_0 ,a_1=b_1,…,a_n=b_na0=b0,a1=b1,...,an=bn,而an+1<bn+1a_{n+1} <b_{n+1}an+1<bn+1
- 对于负实数，相等同上，大于小于刚好反过来。
近似数：
- 与事实上的数比较为小的为不足近似：记为xn=a0.a1a2…anx_n=a_0.a_1a_2…a_nxn=a0.a1a2...an
- 与事实上的数比较为大的为过剩近似：记为xn‾=xn+110overline{x_n} = x_n+frac{1}{10}xn=xn+101
- 负数表示
- 不足近似：xn=xn‾+110x_n=overline{x_n}+frac{1}{10}xn=xn+101
- 过剩近似：xn‾=a0.a1a2…anoverline{x_n} = a_0.a_1a_2…a_nxn=a0.a1a2...an
实数的性质：
- 1、对四则运算封闭
- 2、有序的
- 3、大小传递性
- 4、阿基米德性,对任意的a,ba,ba,b两个实数，总存在整数nnn，使得na>bna>bna>b
- 5、稠密性
- 6、与一条直线对应
绝对值：
- 这里说的绝对值就是中学的绝对值。
不等式：
- ∣a∣=∣−a∣≥0|a|=|-a|geq0∣a∣=∣−a∣≥0
- −∣a∣≤a≤∣a∣-|a|leq a leq |a|−∣a∣≤a≤∣a∣
- ∣a∣<h的充分必要条件是：−h<a<h|a|<h的充分必要条件是：-h<a<h∣a∣<h的充分必要条件是：−h<a<h
- ∣a∣≤h的充分必要条件是：−h≤a≤h|a|leq h的充分必要条件是：-hleq aleq h∣a∣≤h的充分必要条件是：−h≤a≤h
- 三角不等式：∣a∣−∣b∣⩽∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣|a|-|b| leqslant |apm b|leq |a|+|b|∣a∣−∣b∣⩽∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
- |ab|=|a||b|
- ∣a∣∣b∣=∣ab∣frac{|a|}{|b|}=|frac{a}{b}|∣b∣∣a∣=∣ba∣
确界原理：
有限区间：
- 开区间
- 闭区间
- 半开区间
无限区间：
带无穷号的
邻域：
设a∈R,δ>0a in R,delta > 0a∈R,δ>0,
U(a;δ)={x∣∣x−a∣<δ}=(a−δ,a+δ)U(a;delta )=left {xmid |x-a| <delta right }=(a-delta ,a+delta )U(a;δ)={x∣∣x−a∣<δ}=(a−δ,a+δ)
- 左邻域：U−(a;δ)=[a,a+δ)U_-(a;delta )=[a,a+delta )U−(a;δ)=[a,a+δ)
- 右邻域：U+(a;δ)=[a,a+δ)U_+(a;delta )=[a ,a+delta )U+(a;δ)=[a,a+δ)
- 空心邻域：U0(a;δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}U^0(a;delta )=left {xmid 0<|x-a| <delta right }U0(a;δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}
上下界：
- 集合里面的任意一个元素都小于一个实数M，称M为上界。
- 集合里面的任意一个元素都大于一个实数M，称M为下界。
有界集：
- 有上界且有下界
上下确界：
- 上确界：首先是上界，其次是最小上界
- 下确界：首先是下届，其次是最大下界
确界原理：
- 描述上下界与上下确界的关系。
- 条件：S为非空数集
- 内容
- 有上界必有上确界
- 有下界必有下确界
-证明：略
-带有正无穷作为上确界称为非正常上确界，带负无穷符号的称为非正常下确界