Pr{b i =r,b j =r}=Pr{b i =r}Pr{b j =r}=1n 2   

他们的生日落在同一天的概率为：

∑ r=1 n Pr{b i =r,b j =r}=∑ r=1 n Pr{b i =r}Pr{b j =r}=n⋅1n 2  =1n  

所以这有一个结论，如果两个人生日彼此独立的话，一个人生日在某一天的概率为 1n  ，两个人生日在同一天的概率也为 1n  。

再来看，至少两人生日在同一天的概率：

1−A k n n k  === 1−n!(n−k)! n k  1−n(n−1)⋯(n−k+1)n k  1−1⋅n−1n n−2n ⋯n−k+1n   

又由 e x  的泰勒展开为：

e x =∑ n=0 ∞ x n n! =1+x+x 2 2 +⋯ 

也即



1+x≤e x  

所以如果要求至少有两人生日在同一天的概率 ≥1 ，也即 1−A k n n k  ≥12  ，也即：

1⋅n−1n n−2n ⋯n−k+1n ≤12  

又由于

1+x≤e x  ，所以，



1⋅n−1n n−2n ⋯n−k+1n ≤e −1/n e −2/n ⋯e −(k−1)/n =e −k(k−1)/2n ≤1/2 

求解得

k≥(1+1+(8ln2)n − − − − − − − − − −  √ )/2 ，当

n=365 时，必须有

k≥23 。

>>> from math import sqrt, log
>>> (1+sqrt(1+8*log(2)*365))/222.99994315123396

也即，如果至少有23个人主宰一个房间里，那么至少有两人生日相同的概率至少为1/2 。

在火星上，一年有669个火星日，也即 n=669 ，

>>> (1+sqrt(1+8*log(2)*669))/2
30.957854940707936

则在火星上要达到同样的效果，必须有31个火星人。

利用指示器随机变量进行近似分析

利用指示器随机变量（Indicator Random Variable），可以给生日悖论一个简单而近似的分析。对房间中 k 个人中的每一对 (i,j) ，1≤i<j≤k ，定义指示器随机变量 X ij  如下：

X ij =1 i,j生日相同 ={1,0, 如果i,j生日相同否则  

又知两个人生日在同一天的概率为

1/n ，所以有：



E[X ij ]=Pr{i,j生日相同}=1n  

令

X 表示计数具有相同生日的两人对出现的数目的随机变量：
X=∑ i=1 k ∑ j=i+1 k X ij  

对两边取期望并应用
期望的线性性质，得到：



E(X)=∑ i=1 k ∑ j=i+1 k E(X ij )=(k2)1n  

因此当 k(k−1)≥2n 时，有相同数目的两人对的期望数目大于1。当 n=365 时，k=28 。