半导体器件物理【5】固体量子 —— 能带与k空间

前言

没时间了，进度拖了两周 ! 好想游泳！

- 前言
- 量子数
- 泡利不相容原理
- 核外电子排布
- 能级分裂成能带
- - 允带禁带价带导带
  - 固体中的导带价带
- Kronig-Penney模型
- - 单个原子势函数
  - 一维单晶势函数
  - 一维周期性势函数
  - 求能量E与势函数V与k的关系
- 自由粒子的E-k关系
- k空间能带图
- - 简约布里渊区
- 固体电
- - 本征激发
  - 能带和键模型

量子数

主量子数n

n=1,2,… 正整数，是 决定轨道能量（电子能量） 的主要的量子数。一般来说，同一元素轨道增加，n增大。

主量子数相同的轨道，电子出现的几率最大的范围是相同的，所以主量子数相同的轨道划为一个电子层。主量子数越大，电子离核越远。

角量子数l

l=0,1,2,…,n-1 其中n是主量子数。角量子 决定电子空间运动角动量 。也决定原子轨道和电子云形状。

在多原子中，与主量子数共同决定电子能量高低。

磁量子数m

$- l \leq m \leq + l$ 取范围内所有整数。原子轨道（电子云）在空间中有 $2 l + 1$ 个伸展方向——每一个伸展方向称为一个轨道。

磁量子数表示 轨道角动量方向沿磁场的分量 。

自旋量子数 $m_s$

$ms=12m_s = frac{1}{2}$ ，记 $↑$ ，表示电子顺磁场方向，逆时针自旋。

$ms=−12m_s = -frac{1}{2}$ ，记 $↓$ ，表示电子逆磁场方向，顺时针自旋。

自旋量子数 决定电子自旋的角动量方向沿磁场的分量

电子有两个方向的自旋，顺时针方向的自旋和逆时针方向的自旋。

一个轨道最多只能容纳自旋相反的两个电子，也就是只能容纳两个量子态

泡利不相容原理

在费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。

原子中的电子的泡利不相容原理：

不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数 ，或者说在轨道量子数 $m 、 l 、 n$ 确定的一个原子轨道上最多可容纳两个电子，并且这两个电子自旋方向必须相反。

——这是电子在核外排布形成周期性，以解释元素周期表的准则之一

核外电子排布

核外电子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理、洪特规则。

能量最低原理：核外电子先占有能量最低的轨道，当低能量轨道被占满后，电子才进入能量较高的轨道。

洪特规则：电子在能量相同的轨道（等价轨道）上排布时，总是尽可能分占不同的轨道，且自旋方向相同，因为这样排布总能量最低。

能级分裂成能带

两个或多个原子的相互作用或者微扰动，会导致离散的能级分裂成两个分立的能级。

如果将最初相矩很远的原子按一定规律周期排列起来，当他们聚到一起，能级就会分裂成很多能级，这些能级的能量范围就是能带。所以也可以说是当他们聚到一起，能级就会分裂成能带。

$r_0$ 表示晶体中平衡原子间的距离。

能带内不同能级能量差别小，有时候可以认为能量是准连续分布的。

原子聚集成的系统，无论大小怎么变化，量子总数都不变。根据泡利不相容原理，任何两个电子不能有完全相同的四个量子数，所以离散的能级必须分裂成一个能带，这样保证每个电子占据不同的量子态

允带禁带价带导带

允带就是能带，是由一条能级分裂成的一组差别很小的能级。

禁带就是能带之间能量密度为零的能量区间

当原子处于基态，她的电子会从最低能级向上填充，被填满的能带叫满带，满带中能量最高的一条叫价带。

因为价带被电子填满，所以不导电，而高于价带的能带是不满的，能导电，称为导带

导带价带都是对于电子而言的，能级越高电子能量越大。如果是空穴，那就是导带中不导电（全是空穴），价带中导电（没有空穴）。

固体中的导带价带

半导体中导带价带间有禁带，绝缘体中的禁带宽度更大，电子不可能跃迁过去。金属中没有禁带，导带和价带重合，电子不需要跃迁就可以导电了。

能级和轨道有关，能级低的轨道低，该轨道的电子云更靠近核

Kronig-Penney模型

单个原子势函数

电子势函数 $V(r)∝1rV(r) propto frac{1}{r}$ ，离原子越远的电子，势越小。势函数描述原子间相互作用，势越小，表示电子受原子的作用越小。

脱离原子作用的电子，能量越来越大。能级越来越高。

一维单晶势函数

一维周期性势函数

Kronig-Penney模型是一维单晶的理想化模型，但也可以说明周期晶格中电子的量子状态的很多重要特点

每一个势垒就是一个原子作用范围，电子在势垒间被束缚，称为束缚态电子，其势能 $V$ 小于势垒势能 $V_0$

布洛赫数学定理：存在一波矢量 $k$ ，使得 $+vec{R}_n) = psi(vec{r})exp(i vec{k} vec{R}_n)$ 对属于布拉维格子的所有格矢量 $R⃗nvec{R}_n$ 都成立

为了得到薛定谔方程的解，利用布洛赫数学定理，所有周期性变化的单电子势函数必须写成

$ψ (x) = u (x) e x p (ik x)$

其中k是运动常量， $u (x)$ 是以a+b为周期的函数

通过量子力学可知，波动方程是由与时间无关的部分加上与时间有关的部分组成的，即

$frac{E_n t}{hbar} ) = u(x)expleft{i [kx – frac{E_n t}{hbar} ] right}$

方程表示电子在单晶材料中的运动。波的整幅是周期函数，k表示波数

求能量E与势函数V与k的关系

一维，定态，与时间无关的薛定谔方程为

$^2 }{2m} nabla ^2 + V(r) right]psi(x)$

化成

$^2 psi(x) }{partial x^2} + frac{2m}{hbar ^2} (E – V(x))psi(x)=0 qquad (1)$

假设区域1（ $0 \leq x \leq a$ ）内 $V = 0$ ,对单电子势函数求二阶导有

$k^2 · u right}exp(ikx)$

代入(*)有

$^2 – k^2) u=0$
其中 $^2= 2mE/hbar ^2$

解得区域1内，假设 $V = 0$ 的电子运动的波的振幅函数为

$u1(x)=Aexp{i[α−k]x}+Bexp{−i[α+k]x}0≤x≤au_1(x)=Aexpleft{ i[ alpha – k]x right} + B expleft{ -i[alpha + k]x right} qquadqquad 0 le x le a$

同理，在区域2（ $- b \leq x \leq 0$ ），假设 $V=V_0$ ,则

$u2(x)=Cexp{i[β−k]x}+Dexp{−i[β+k]x}−b≤x≤0u_2(x)=Cexpleft{ i[ beta- k]x right} + D expleft{ -i[beta+ k]x right} qquadqquad -b le x le 0$

其中

$β2=2mℏ2(E−V0)=α2−2mV0ℏ2beta^2=frac{2m}{hbar^2}(E-V_0) = alpha ^2 – frac{2m V_0}{hbar^2}$

在 $x = 0$ 处,波振幅连续，并且势函数 $ψ (x)$ 和一阶导数 $ψ^{'} (x)$ 也连续，有

$u_1(0)=u_2(0) \ u_1' (0)=u_2'(0) end{cases}$

$\\ (alpha – k)A – (alpha + k) B – (beta – k) C + (beta +k)D=0 qquadqquad (2) end{cases}$

因为Kronig-Penne模型的一维周期势函数的周期性和连续性，有

$u_1(a) = u_2(-b) \ u_1'(a)=u_2'(-b)end{cases}$

$Ae^{ i(alpha – k)a } +Be^{ – i(alpha + k)a} – Ce^{ – i(beta- k)b } – De^{ i(beta + k)b } =0 qquadqquad (3) \\ (alpha – k)Ae^{ i(alpha – k)a } – (alpha + k) Be^{ – i(alpha + k)a} – (beta – k) Ce^{ – i(beta- k)b } + (beta +k)De^{ i(beta + k)b } =0 qquadqquad (4) end{cases}$

(1)(2)(3)(4)四个式子组成齐次方程组，A,B,C,D是未知数，系数矩阵就是A,B,C,D的系数。行列式为零时，A,B,C,D有非零解

经过复杂的运算得到如下方程

$−α2+β22αβsinαa⋅sinβb+cosαa⋅cosβb=cosk(a+b)-frac{alpha^2 + beta ^2}{2alphabeta } sinalpha a· sin beta b + cos alpha a ·cos beta b = cos k(a+b)$

这个方程已经将参数k、能量E、势函数 $V_0$ 联系起来了。

当电子处于晶体的束缚中 $V<V_0$ ，又因为 $β$ 的虚数，不妨定义

$β = iγ$

$γ2−α22αγsinαa⋅sinγb+cosαa⋅cosγb=cosk(a+b)frac{gamma^2 – alpha ^2}{2alphagamma} sinalpha a· sin gamma b + cos alpha a ·cos gamma b = cos k(a+b)$

方程得不到解析解，只能通过数值和图形得到 $k、E、V_0$ 的关系

对于一个单独的被束缚的束缚态粒子，薛定谔方程解的结果是分立的能量，即允带的能量分布

令势垒宽度 $b \to 0$ ,势垒高度 $V0→∞V_0 rightarrow infty$ ，这样的话 $bV_0$ 仍然有限。方程化成

$P′sinαaαa+cosαa=coskaP' frac{sin alpha a}{alpha a }+cosalpha a=coska$

$frac{mV_0ba}{hbar ^2}$

$α=2mEℏalpha = frac{sqrt {2mE}}{hbar}$

这样化成的方程不是薛定谔波动方程的解，只是给出了一个解的条件。

如果晶体无限大，则方程中的 $k$ 可以假设为连续的实值！！！

自由粒子的E-k关系

由
$\\ E = frac{P^2}{2m} \\ P = hbar vec{k}end{cases}$

有

$\\ E = frac{hbar ^2 k^2}{2m} end{cases}$

随着波矢量 $k$ 的连续变化，自由电子能量是准连续的。

不存在真正的自由电子

k空间能带图

由 $α2=2mE/ℏ2alpha^2 = 2mE/hbar^2$ 有 $^2 alpha ^2 /2m$

令 $k、E、V_0$ 的关系方程为

$\ = cos(ka + 2npi)\ = cos (ka – 2npi)$

简约布里渊区

把E-k关系图中的不同允带，以 $2 π$ 为周期平移到简约布里渊区内。简约布里渊区对应的波矢量称为简约波矢

第一布里渊区（简约布里渊区）： $- π / a < k < π / a$

第二布里渊区： $- 2 π / a < k < - π / a, π / a < k < 2 π / a$

第三布里渊区： $- 3 π / a < k < - 2 π / a, 2 π / a < k < 3 π / a$

。
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当 $k = 2 nπ / a, n 为除零外的整数$ 时，能量不准连续，形成允带和禁带。所以禁带出现在 $k = 2 nπ / a$ 处
$E (k) = E (k + 2 nπ / a)$ ，E(k)是k的周期函数，周期 $2 π / a$ ，所以考虑能带结构的时候，只需要考虑第一布里渊区就行了
每一个布里渊区对应一个能带