半导体器件物理【5】固体量子 —— 能带与k空间

前言

没时间了，进度拖了两周 ! 好想游泳！

- 前言
- 量子数
- 泡利不相容原理
- 核外电子排布
- 能级分裂成能带
- - 允带禁带价带导带
  - 固体中的导带价带
- Kronig-Penney模型
- - 单个原子势函数
  - 一维单晶势函数
  - 一维周期性势函数
  - 求能量E与势函数V与k的关系
- 自由粒子的E-k关系
- k空间能带图
- - 简约布里渊区
- 固体电
- - 本征激发
  - 能带和键模型

量子数

主量子数n

n=1,2,… 正整数，是 决定轨道能量（电子能量） 的主要的量子数。一般来说，同一元素轨道增加，n增大。

主量子数相同的轨道，电子出现的几率最大的范围是相同的，所以主量子数相同的轨道划为一个电子层。主量子数越大，电子离核越远。

角量子数l

l=0,1,2,…,n-1 其中n是主量子数。角量子 决定电子空间运动角动量 。也决定原子轨道和电子云形状。

在多原子中，与主量子数共同决定电子能量高低。

磁量子数m

$- l \leq m \leq + l$ 取范围内所有整数。原子轨道（电子云）在空间中有 $2 l + 1$ 个伸展方向——每一个伸展方向称为一个轨道。

磁量子数表示 轨道角动量方向沿磁场的分量 。

自旋量子数 $m_s$

$ms=12m_s = frac{1}{2}$ ，记 $↑$ ，表示电子顺磁场方向，逆时针自旋。

$ms=−12m_s = -frac{1}{2}$ ，记 $↓$ ，表示电子逆磁场方向，顺时针自旋。

自旋量子数 决定电子自旋的角动量方向沿磁场的分量

电子有两个方向的自旋，顺时针方向的自旋和逆时针方向的自旋。

一个轨道最多只能容纳自旋相反的两个电子，也就是只能容纳两个量子态

泡利不相容原理

在费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。

原子中的电子的泡利不相容原理：

不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数 ，或者说在轨道量子数 $m 、 l 、 n$ 确定的一个原子轨道上最多可容纳两个电子，并且这两个电子自旋方向必须相反。

——这是电子在核外排布形成周期性，以解释元素周期表的准则之一

核外电子排布

核外电子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理、洪特规则。

能量最低原理：核外电子先占有能量最低的轨道，当低能量轨道被占满后，电子才进入能量较高的轨道。

洪特规则：电子在能量相同的轨道（等价轨道）上排布时，总是尽可能分占不同的轨道，且自旋方向相同，因为这样排布总能量最低。

能级分裂成能带

两个或多个原子的相互作用或者微扰动，会导致离散的能级分裂成两个分立的能级。

如果将最初相矩很远的原子按一定规律周期排列起来，当他们聚到一起，能级就会分裂成很多能级，这些能级的能量范围就是能带。所以也可以说是当他们聚到一起，能级就会分裂成能带。

$r_0$ 表示晶体中平衡原子间的距离。

能带内不同能级能量差别小，有时候可以认为能量是准连续分布的。

原子聚集成的系统，无论大小怎么变化，量子总数都不变。根据泡利不相容原理，任何两个电子不能有完全相同的四个量子数，所以离散的能级必须分裂成一个能带，这样保证每个电子占据不同的量子态

允带禁带价带导带

允带就是能带，是由一条能级分裂成的一组差别很小的能级。

禁带就是能带之间能量密度为零的能量区间

当原子处于基态，她的电子会从最低能级向上填充，被填满的能带叫满带，满带中能量最高的一条叫价带。

因为价带被电子填满，所以不导电，而高于价带的能带是不满的，能导电，称为导带

导带价带都是对于电子而言的，能级越高电子能量越大。如果是空穴，那就是导带中不导电（全是空穴），价带中导电（没有空穴）。

固体中的导带价带

半导体中导带价带间有禁带，绝缘体中的禁带宽度更大，电子不可能跃迁过去。金属中没有禁带，导带和价带重合，电子不需要跃迁就可以导电了。

能级和轨道有关，能级低的轨道低，该轨道的电子云更靠近核

Kronig-Penney模型

单个原子势函数

电子势函数 $V(r)∝1rV(r) propto frac{1}{r}$ ，离原子越远的电子，势越小。势函数描述原子间相互作用，势越小，表示电子受原子的作用越小。

脱离原子作用的电子，能量越来越大。能级越来越高。

一维单晶势函数

一维周期性势函数

Kronig-Penney模型是一维单晶的理想化模型，但也可以说明周期晶格中电子的量子状态的很多重要特点

每一个势垒就是一个原子作用范围，电子在势垒间被束缚，称为束缚态电子，其势能 $V$ 小于势垒势能 $V_0$

布洛赫数学定理：存在一波矢量 $k$ ，使得 $+vec{R}_n) = psi(vec{r})exp(i vec{k} vec{R}_n)$ 对属于布拉维格子的所有格矢量 $R⃗nvec{R}_n$ 都成立

为了得到薛定谔方程的解，利用布洛赫数学定理，所有周期性变化的单电子势函数必须写成

$ψ (x) = u (x) e x p (ik x)$

其中k是运动常量， $u (x)$ 是以a+b为周期的函数

通过量子力学可知，波动方程是由与时间无关的部分加上与时间有关的部分组成的，即

$frac{E_n t}{hbar} ) = u(x)expleft{i [kx – frac{E_n t}{hbar} ] right}$

方程表示电子在单晶材料中的运动。波的整幅是周期函数，k表示波数

求能量E与势函数V与k的关系

一维，定态，与时间无关的薛定谔方程为

$^2 }{2m} nabla ^2 + V(r) right]psi(x)$

化成

$^2 psi(x) }{partial x^2} + frac{2m}{hbar ^2} (E – V(x))psi(x)=0 qquad (1)$

假设区域1（ $0 \leq x \leq a$ ）内 $V = 0$ ,对单电子势函数求二阶导有

$k^2 · u right}exp(ikx)$

代入(*)有

$^2 – k^2) u=0$
其中 $^2= 2mE/hbar ^2$

解得区域1内，假设 $V = 0$ 的电子运动的波的振幅函数为

$u1(x)=Aexp{i[α−k]x}+Bexp{−i[α+k]x}0≤x≤au_1(x)=Aexpleft{ i[ alpha – k]x right} + B expleft{ -i[alpha + k]x right} qquadqquad 0 le x le a$

同理，在区域2（ $- b \leq x \leq 0$ ），假设 $V=V_0$ ,则

$u2(x)=Cexp{i[β−k]x}+Dexp{−i[β+k]x}−b≤x≤0u_2(x)=Cexpleft{ i[ beta- k]x right} + D expleft{ -i[beta+ k]x right} qquadqquad -b le x le 0$

其中

$β2=2mℏ2(E−V0)=α2−2mV0ℏ2beta^2=frac{2m}{hbar^2}(E-V_0) = alpha ^2 – frac{2m V_0}{hbar^2}$

在 $x = 0$ 处,波振幅连续，并且势函数 $ψ (x)$ 和一阶导数 $ψ^{'} (x)$ 也连续，有

$u_1(0)=u_2(0) \ u_1' (0)=u_2'(0) end{cases}$

$\\ (alpha – k)A – (alpha + k) B – (beta – k) C + (beta +k)D=0 qquadqquad (2) end{cases}$

因为Kronig-Penne模型的一维周期势函数的周期性和连续性，有

$u_1(a) = u_2(-b) \ u_1'(a)=u_2'(-b)end{cases}$

$Ae^{ i(alpha – k)a } +Be^{ – i(alpha + k)a} – Ce^{ – i(beta- k)b } – De^{ i(beta + k)b } =0 qquadqquad (3) \\ (alpha – k)Ae^{ i(alpha – k)a } – (alpha + k) Be^{ – i(alpha + k)a} – (beta – k) Ce^{ – i(beta- k)b } + (beta +k)De^{ i(beta + k)b } =0 qquadqquad (4) end{cases}$

(1)(2)(3)(4)四个式子组成齐次方程组，A,B,C,D是未知数，系数矩阵就是A,B,C,D的系数。行列式为零时，A,B,C,D有非零解

经过复杂的运算得到如下方程

$−α2+β22αβsinαa⋅sinβb+cosαa⋅cosβb=cosk(a+b)-frac{alpha^2 + beta ^2}{2alphabeta } sinalpha a· sin beta b + cos alpha a ·cos beta b = cos k(a+b)$

这个方程已经将参数k、能量E、势函数 $V_0$ 联系起来了。

当电子处于晶体的束缚中 $V<V_0$ ，又因为 $β$ 的虚数，不妨定义

$β = iγ$

$γ2−α22αγsinαa⋅sinγb+cosαa⋅cosγb=cosk(a+b)frac{gamma^2 – alpha ^2}{2alphagamma} sinalpha a· sin gamma b + cos alpha a ·cos gamma b = cos k(a+b)$

方程得不到解析解，只能通过数值和图形得到 $k、E、V_0$ 的关系

对于一个单独的被束缚的束缚态粒子，薛定谔方程解的结果是分立的能量，即允带的能量分布

令势垒宽度 $b \to 0$ ,势垒高度 $V0→∞V_0 rightarrow infty$ ，这样的话 $bV_0$ 仍然有限。方程化成

$P′sinαaαa+cosαa=coskaP' frac{sin alpha a}{alpha a }+cosalpha a=coska$

$frac{mV_0ba}{hbar ^2}$

$α=2mEℏalpha = frac{sqrt {2mE}}{hbar}$

这样化成的方程不是薛定谔波动方程的解，只是给出了一个解的条件。

如果晶体无限大，则方程中的 $k$ 可以假设为连续的实值！！！

自由粒子的E-k关系

由
$\\ E = frac{P^2}{2m} \\ P = hbar vec{k}end{cases}$

有

$\\ E = frac{hbar ^2 k^2}{2m} end{cases}$

随着波矢量 $k$ 的连续变化，自由电子能量是准连续的。

不存在真正的自由电子

k空间能带图

由 $α2=2mE/ℏ2alpha^2 = 2mE/hbar^2$ 有 $^2 alpha ^2 /2m$

令 $k、E、V_0$ 的关系方程为

$\ = cos(ka + 2npi)\ = cos (ka – 2npi)$

简约布里渊区

把E-k关系图中的不同允带，以 $2 π$ 为周期平移到简约布里渊区内。简约布里渊区对应的波矢量称为简约波矢

第一布里渊区（简约布里渊区）： $- π / a < k < π / a$

第二布里渊区： $- 2 π / a < k < - π / a, π / a < k < 2 π / a$

第三布里渊区： $- 3 π / a < k < - 2 π / a, 2 π / a < k < 3 π / a$

。
。
。

当 $k = 2 nπ / a, n 为除零外的整数$ 时，能量不准连续，形成允带和禁带。所以禁带出现在 $k = 2 nπ / a$ 处
$E (k) = E (k + 2 nπ / a)$ ，E(k)是k的周期函数，周期 $2 π / a$ ，所以考虑能带结构的时候，只需要考虑第一布里渊区就行了
每一个布里渊区对应一个能带

固体电

本征激发

共价键上的电子，激发称为准自由电子的过程

价带上的电子激发称为导带电子的过程

本征激发特点是成对的产生导带电子和价带空穴——空穴要在价带上才导电，电子要在导带才导电

能带和键模型

温度升高、外加电场等情况下，原本空着的导带变成半满，而价带顶，因为出现空的量子态，也变成了半满带。此时导带和价带中的电子都可以参与导电。

半导体中真正起作用的是那些能量状态位于能带极值附近的电子和空穴

$k = 0$ 为能带极值

导带底附近

$^2 k^2}{2 m_n^*}$

价带顶附近
$^2 k^2}{2 m_p^*}$