1 – 行列式 – 矩阵的运算

文章目录

1 – 行列式 – 矩阵的运算
- （一）转置、求逆、伴随矩阵
- - 1）基本运算
  - 2）关键公式
  - 3）可逆、正交、对称矩阵的判断
  - 4）分块矩阵逆矩阵
  - 5）矩阵乘法的“交换律”
- （二）行列式的计算
- - 1）分块矩阵行列式
  - 2）按某一行/列展开
  - 3）副对角线行列式
  - 4）范德蒙德行列式
  - 5）利用特征值
- （三）行列式、矩阵初等变换
- - 1）注意事项
  - 2）符号说明
  - 3）等价矩阵和等价标准型
  - 4）初等变换求逆矩阵
- （四）矩阵的秩
- - 1）初等变换不改变矩阵的秩
  - 2）跟秩相关的几个式子
  - - 1. 由定义可得
    - 2. 其它
- （五）常见处理方法
- - 1）求行列式
  - - 1. 所有行/列加到某一行/列
    - 2. 加边法
    - 3. 转化为矩阵相乘
    - 4. 构建递推式
  - 2）求矩阵的 n 次方
  - - 1. 拆分矩阵
    - 2. 数学归纳法
    - 3. 行列向量相乘
    - - ① 可以转化为行列向量相乘的条件
      - ② 行列向量相乘得到的矩阵的推论
    - 4. 利用相似
- （六）补充的基本解题方法
- - 1）求两个方程组的公共解
  - - 1. 直接联立方程
    - 2. 求得一个方程组的通解代入另一个
    - 3. 求得两个方程组的通解再求解关系
  - 2）同解方程组
  - 3）过渡矩阵
  - - 1. 基变换公式
    - 2. 坐标变换公式
- （七）补充的技巧性解题方法
- - 1）利用秩的 “夹逼”
  - - - 例1
      - 例2
  - 2）基础解系等价的充要条件
  - 3）AB=O 用来找解向量

（一）转置、求逆、伴随矩阵

1）基本运算

转置（T）	求逆（-1）	伴随矩阵（*）
$A^T)^T=A$	$A^{-1})^{-1}=A$	$(A∗)∗=∣A∣n−2A(A^)^=lvert Arvert^{n-2}A$ （可推导）
$kA)^T=kA^T$	$kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$	$(kA)∗=kn−1∣A∣A−1(kA)^*=k^{n-1}lvert Arvert A^{-1}$ （可推导）
$AB)^T=B^TA^T$	$AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$	$AB)^=B^A^*$
$A^Trvert = lvert Arvert$	$A^{-1}rvert = lvert Arvert ^{-1}$	$A^*rvert = lvert Arvert^{n-1}$ （可推导）
$A+B)^T=A^T+B^T$	/	/

$(A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=lvert Arvert^{n-2}A$ 直接用关键公式推导：
$(A∗)∗=(∣A∣A−1)∗=∣∣A∣A−1∣⋅(∣A∣A−1)−1=∣A∣n⋅∣A−1∣⋅1∣A∣A=∣A∣n−2A(A^*)^*=(lvert Arvert A^{-1})^*=lvert lvert Arvert A^{-1}rvert cdot (lvert Arvert A^{-1})^{-1}=lvert A rvert ^{n} cdot lvert A^{-1} rvert cdot frac{1}{lvert Arvert} A=lvert Arvert^{n-2}A$

$(kA)∗=kn−1∣A∣A−1(kA)^*=k^{n-1}lvert Arvert A^{-1}$ 直接用关键公式推导：
$(kA)∗=∣kA∣⋅(kA)−1=kn∣A∣k−1A−1=kn−1∣A∣A−1(kA)^*= lvert kA rvert cdot (kA)^{-1} = k^n lvert A rvert k^{-1}A^{-1} = k^{n-1}lvert Arvert A^{-1}$

伴随矩阵：
$A∗=[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann]A^*= begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & cdots & A_{n1} & \ A_{12} & A_{22} & cdots & A_{n2} & \ vdots & vdots & & vdots & \ A_{1n} & A_{2n} & cdots & A_{nn} end{bmatrix}$
其下表的排列顺序跟正常的矩阵是转置了的

由其特殊的排列方式，故可能构建与 转置矩阵 有关的方程

2）关键公式

$A∗=∣A∣A−1A^*=lvert Arvert A^{-1}$ （注意要求 $A$ 可逆）

$(A^*)^{-1}$ （两边同取 -1 次方）

$AA^*=|A|E$ （两边同乘 A）

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$

$k^n lvert A rvert$

3）可逆、正交、对称矩阵的判断

名称	判别方式
可逆矩阵	$∣ A ∣ \neq = 0$ 或 $r(An×n)=nr(A_{ntimes n})=n$ 或定义
正交矩阵	$AA^T=E 或 A^TA=E$ （即 $A^T=A^{-1}$ ）
对称矩阵	$A^T=A$
反对称矩阵	$A^T=-A$

【注】 矩阵乘法不满足 交换律 ，所以区分 $AA^T$ 和 $A^TA$
【注】 $ATA=OorAAT=O⇒A=OA^TA=O or AA^T=O Rightarrow A=O$

4）分块矩阵逆矩阵

$\ O & B \ end{bmatrix}^{-1}= begin{bmatrix} A^{-1} & O \ O & B^{-1} \ end{bmatrix}, begin{bmatrix} O & A \ B & O \ end{bmatrix}= begin{bmatrix} O & B^{-1} \ A^{-1} & O \ end{bmatrix}$

5）矩阵乘法的“交换律”

矩阵乘法一般 不满足交换律
但是下列情况下有类似交换律的运算

$A E = E A = A$

$AA^n=A^nA=A^{n+1}$

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

$AA^*=A^*A=|A|E$

（二）行列式的计算

1）分块矩阵行列式

$\ O & B \ end{vmatrix} = lvert A rvertcdot lvert B rvert, begin{vmatrix} O & A \ B & O \ end{vmatrix}=(-1)^{mn}lvert A rvertcdot lvert B rvert$

2）按某一行/列展开

$rvert=sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}=sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij}$

【注】 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ； $A_{ij}$ 与展开的行/列的元素值无关

可以反向应用公式求行列式的值
也可以正向运用公式把求 $A_{ij}$ 的线性加和的问题转化为求行列式的值的问题

3）副对角线行列式

$a_{1n} \ 0 & cdots & a_{2,n-1} & 0 \ vdots & & vdots & vdots \ a_{n1} & cdots & 0 & 0 \ end{vmatrix}= (-1)^{frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}cdots a_{n1}$

4）范德蒙德行列式

$\ x_1 & x_2 & cdots & x_n \ x_1^2 & x_2^2 & cdots & x_n^2 \ vdots & vdots & & vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & cdots & x_n^{n-1} \ end{vmatrix}= prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)$

int ans = 1;
for(j=1;j<=n;j++)for(i=1;i<j;i++)ans *= xj - xi;

5）利用特征值

$∏i=1nλi=∣A∣prod_{i=1}^{n} lambda_i=lvert A rvert$

$∣ λ E - A ∣ = 0$ ，解得的 $λ$ 即为特征值

矩阵的迹： $tr(A)=∑i=1nλi=∑i=1naiitr(A)=sum_{i=1}^{n}lambda_i=sum_{i=1}^{n}a_{ii}$

$A^{-1}$ 的特征值为 $λ−1lambda^{-1}$

常用关系
以下关系大部分可用 $A ξ = λ ξ$ 推导得到

矩阵	$A$	$k_1A+k_2E$	$A^k$	$A^T$	$A^{-1}$	$A^*$	$f (A)$	$P^{-1}AP$
特征值	$λ$	$k1λ+k2k_1lambda+k_2$	$λklambda^k$	$λ$	$λ−1lambda^{-1}$	$∣A∣λfrac{lvert Arvert}{lambda}$	$f (λ)$	$λ$
特征向量	$ξ$	$ξ$	$ξ$	需要重新计算	$ξ$	$ξ$	$ξ$	$P−1ξP^{-1}xi$

最后一个常用于相似，例如求矩阵A的特征向量时却只给出了如 $f (A) = 0$ 的等式关系，可以根据A矩阵符合的等式关系，得到 $A=PBP^{-1}$ ，此时B矩阵可以通过 $f (A) = 0$ 明确出来，然后求出 B 矩阵的特征向量，再通过 $P−1ξP^{-1}xi$ 推出 A 矩阵的特征向量

特征值的其它性质

$ξ 、 η$ 都是属于 $λ$ 的特征向量，则 $k1ξ+k2η,(k1、k2不同时为0)k_1xi+k_2eta , (k_1、k_2 不同时为 0)$ 仍是属于 $λ$ 的特征向量
求相似矩阵的 P 矩阵时，可以用特征向量拼得 P 矩阵
实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量必正交（可以用来求特征向量）
$λn=tr(A)−∑λilambda_n=tr(A)-sumlambda_i$ （求特征值得技巧）
$A x = 0 \Rightarrow A x = 0 x$ 暗示了特征值为 0
n 阶矩阵隐含特征值不为 0

（三）行列式、矩阵初等变换

1）注意事项

矩阵的初等变换可能会改变行列式的值；但其行列式是否为 0 是不会变的（初等变换不改变矩阵的秩）
矩阵的初等变换可能会改变其伴随矩阵

2）符号说明

$E_2(k)$ ：单位矩阵 $E$ 的第2 行/列乘 k 倍
$E_{12}$ ：单位矩阵 $E$ 的第1、2 行/列互换
$E_{12}(k)$ ：单位矩阵 $E$ 的 第2行 的 k 倍加到 第1行 ；E矩阵的 第1列 的 k 倍加到 第2列

行是从右往左 “赋值” ；列相反

三种初等变换都分别有等价的变换形式，所以所有的行变换都可以有列变换的替代，反之亦然；
由此，对于满秩矩阵，可以只靠 初等行变换 或 初等列变换 得到单位矩阵

注：

倍乘互换倍加

$E_i(k)]^{-1}=E_i(k^{-1})$ $E_{ij}^{-1}=E_{ij}$ $E_{ij}(k)]^{-1}=E_{ij}(-k)$

$E_{i}(k)]^*=kE_{i}(k^{-1})$ $E_{ij}^*=-E_{ij}$ $E_{ij}(k)]^*=E_{ij}(-k)$

倍乘	互换	倍加
$E_i(k)]^{-1}=E_i(k^{-1})$	$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$	$E_{ij}(k)]^{-1}=E_{ij}(-k)$
$E_{i}(k)]^*=kE_{i}(k^{-1})$	$E_{ij}^*=-E_{ij}$	$E_{ij}(k)]^*=E_{ij}(-k)$

3）等价矩阵和等价标准型

等价具有 传递性

矩阵 $Am×n,Bm×nA_{mtimes n},B_{mtimes n}$ ，若存在可逆矩阵 $Pm×m,Qn×nP_{mtimes m},Q_{ntimes n}$ 使得 $P A Q = B$ ，则称 $A, B$ 是等价矩阵，记作 $A ≅ B$
若 $r (A) = r$ ，则下面的右侧矩阵是 $A$ 的等价标准型；等价标准型唯一

$E_r & O \ O & O \ end{bmatrix}$

可以通过对单位矩阵 $E$ 的一系列 初等行变换 得到 $P$ ， $P A$ 是按照由 $E$ 到 $P$ 的初等行变换步骤，对 $A$ 做初等行变换

可以通过对单位矩阵 $E$ 的一系列 初等列变换 得到 $Q$ ， $A Q$ 是按照由 $E$ 到 $Q$ 的初等列变换步骤，对 $A$ 做初等列变换

“左行右列”

4）初等变换求逆矩阵

$E|A^{-1} end{bmatrix}$

$\ E \ end{bmatrix} underrightarrow{初等列变换} begin{bmatrix} E \ A^{-1} \ end{bmatrix}$

（四）矩阵的秩

1）初等变换不改变矩阵的秩

$r (A) = r (P A) = r (A Q) = r (P A Q)$

2）跟秩相关的几个式子

1. 由定义可得

$0 \leq r (A) \leq m i n {m, n}$

$r (k A) = r (A) (k \neq = 0)$

2. 其它

$r (A B) \leq m i n {r (A), r (B)}$

若 B 满秩，则 $r (A B) = r (A)$

$r (A + B) \leq r (A) + r (B)$

$A B = O \Rightarrow r (A) + r (B) \leq n$

$r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1(此处为An×n)r(A^*)= begin{cases} n, qquad r(A)=n \ 1, qquad r(A)=n-1 \ 0, qquad r(A)<n-1 \ end{cases} qquad (此处为 A_{ntimes n}) \$

（五）常见处理方法

1）求行列式

1. 所有行/列加到某一行/列

例如

$a_1 & a_2 & cdots & a_n \ a_1 & x & a_2 & cdots & a_n \ a_1 & a_2 & x & cdots & a_n \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & \ a_1 & a_2 & a_3 & cdots & x \ end{vmatrix} =(x+sum_{i=1}^na_i) begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & cdots & a_n \ 1 & x & a_2 & cdots & a_n \ 1 & a_2 & x & cdots & a_n \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & \ 1 & a_2 & a_3 & cdots & x \ end{vmatrix}$

2. 加边法

例如

$a_1-b & a_2 & cdots & a_n \ a_1 & a_2-b & cdots & a_n \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_1 & a_2 & cdots & a_n-b \ end{vmatrix}= begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & cdots & a_n \ 0 & a_1-b & a_2 & cdots & a_n \ 0 & a_1 & a_2-b & cdots & a_n \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & a_1 & a_2 & cdots & a_n-b \ end{vmatrix} \$

此处加边注意不要改变行列式的值

$a_1 & a_2 & cdots & a_n \ -1 & -b & 0 & cdots & 0 \ -1 & 0 & -b & cdots & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ -1 & 0 & 0 & cdots & -b \ end{vmatrix}= begin{vmatrix} 1-sum_{i=1}^nfrac{a_i}b & a_1 & cdots & a_n \ 0 & -b & cdots & 0 \ vdots & vdots & & vdots \ 0 & 0 & cdots & -b \ end{vmatrix}$

3. 转化为矩阵相乘

例如求 $a_1-a_n,a_2-a_1,cdots,a_{n}-a_{n-1} rvert$
$a_1-a_n,a_2-a_1,cdots,a_{n}-a_{n-1} rvert \ &=left| [a_1,a_2,cdots,a_n]cdot begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & -1 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & \ -1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{bmatrix} right| \ &=lvert a_1,a_2,cdots,a_nrvert cdot begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & -1 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & \ -1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{vmatrix} \ end{aligned}$

4. 构建递推式

例如
$Dn=∣210⋯00121⋯00012⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯12∣D_n= begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & \ 0 & 0 & 0 & cdots & 1 &2 end{vmatrix}$

行列式按第一行展开
$Dn=2Dn−1+(−1)3∣110⋯00021⋯00012⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯12∣n−1=2Dn−1−Dn−2D_n=2D_{n-1}+(-1)^3 begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 2 & 1 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & \ 0 & 0 & 0 & cdots & 1 &2 end{vmatrix}_{n-1} =2D_{n-1}-D_{n-2}$

其中
$&D_1=2 \ &D_2= begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \ end{vmatrix}=3 end{aligned}$

2）求矩阵的 n 次方

1. 拆分矩阵

例如矩阵
$\ 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix}= begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix}+ begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 4 \ 0 & 0 & 0 \ end{bmatrix}$

元素全部 在主对角线上 的矩阵的 n 次方很好求
元素全部 在主对角线一侧 的矩阵，通常 $N^*,使得 n>N 时有 A^n=O$ ；例如此处除 E 以外另一个矩阵的 3 次方就为零矩阵了
利用 多项式定理 展开求矩阵的 n 次方即可
例如此处
$An=En+nEn−1B+n(n−1)2En−2B2A^n=E^n+nE^{n-1}B+frac{n(n-1)}{2}E^{n-2}B^2$

2. 数学归纳法

给定一个关于 n 的递推式

看 $n = 0$ 时，递推式是否成立
假设 $n = n - 1$ 时成立
证明 $n = n - 1$ 成立的时候， $n = n$ 时递推式成立

3. 行列向量相乘

假设有行向量 $α 、 β$ ， $^T$
利用向量相乘的 结合律 ，有
$An=α(βTα)(βTα)⋯(βTα)βTA^n=alpha(beta^Talpha)(beta^Talpha)cdots(beta^Talpha)beta^T$
其中 $βTαbeta^Talpha$ 是个常数

所以可以将矩阵拆成两个一维向量相乘的形式再求其 n 次方
例如
$\ -9 & 3 \ end{bmatrix}= begin{bmatrix} 1 \ -3 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} 3 & -1 \ end{bmatrix}\ —————-\ begin{bmatrix} 3 & -1 \ -9 & 3 \ end{bmatrix}^n= begin{bmatrix} 1 \ -3 \ end{bmatrix} (6^{n-1}) begin{bmatrix} 3 & -1 \ end{bmatrix}\$

① 可以转化为行列向量相乘的条件

考虑两行向量 $α=[a1,a2,⋯,an]alpha=[a_1,a_2,cdots,a_n]$ ， $β=[b1,b2,⋯,bn]beta=[b_1,b_2,cdots,b_n]$
$αTβ=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]alpha^Tbeta= begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & cdots & a_1b_n \ a_2b_1 & a_2b_2 & cdots & a_2b_n \ vdots & vdots & & vdots & \ a_nb_1 & a_nb_2 & cdots & a_nb_n \ end{bmatrix}$

将其余所有列的一倍加到第一列，于是有
$αTβ=[a1∑i=1nbia1b2⋯a1bna2∑i=1nbia2b2⋯a2bn⋮⋮⋮an∑i=1nbianb2⋯anbn]alpha^Tbeta= begin{bmatrix} a_1sum_{i=1}^nb_i & a_1b_2 & cdots & a_1b_n \ a_2sum_{i=1}^nb_i & a_2b_2 & cdots & a_2b_n \ vdots & vdots & & vdots & \ a_nsum_{i=1}^nb_i & a_nb_2 & cdots & a_nb_n \ end{bmatrix}$
于是有
$αTβ=∑i=1nbi[a1a1b2⋯a1bna2a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮ananb2⋯anbn]alpha^Tbeta=sum_{i=1}^nb_i begin{bmatrix} a_1 & a_1b_2 & cdots & a_1b_n \ a_2 & a_2b_2 & cdots & a_2b_n \ vdots & vdots & & vdots & \ a_n & a_nb_2 & cdots & a_nb_n \ end{bmatrix}$
可以看到从第二列开始，都是第一列的倍数，所以
$αTβ=∑i=1nbi[a10⋯0a20⋯0⋮⋮⋮an0⋯0]alpha^Tbeta=sum_{i=1}^nb_i begin{bmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 \ a_2 & 0 & cdots & 0 \ vdots & vdots & & vdots & \ a_n & 0 & cdots & 0 \ end{bmatrix}$
所以得到结论：

两向量相乘得到的矩阵， $r a n k \leq 1$

$r a n k \leq 1$ 的矩阵可以化为两向量相乘的形式

② 行列向量相乘得到的矩阵的推论

此处假定 $α β$ 均为行向量
$αTβ=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]alpha^Tbeta= begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & cdots & a_1b_n \ a_2b_1 & a_2b_2 & cdots & a_2b_n \ vdots & vdots & & vdots & \ a_nb_1 & a_nb_2 & cdots & a_nb_n \ end{bmatrix}$
注意，初等变换会改变矩阵的迹(trace)
由上面的式子易知

$αTαalpha^Talpha$ 是对称矩阵

$tr(αTβ)=αβT=∑i=1nλitr(alpha^Tbeta)=alphabeta^T=sum_{i=1}^{n} lambda_i$

又因为 $r(αTβ)=1r(alpha^Tbeta)=1$ 且 $∑i=1nλi=αβTsum_{i=1}^{n} lambda_i=alphabeta^T$ ，所以

$αTβalpha^Tbeta$ 的特征值为 $αβTalphabeta^T$ 和 n-1 个 0

4. 利用相似

由相似有 $An=PΛnP−1A^n=PLambda^nP^{-1}$ ，可以求出矩阵 A 的相似对角阵的 n 次方，然后再导出 A 的 n 次方
对角阵的 n 次方很好求

（六）补充的基本解题方法

1）求两个方程组的公共解

1. 直接联立方程

求 $A x = 0 、 B x = 0$ 的公共解，即联立方程组的解：
$\ B \ end{bmatrix}x=0$

2. 求得一个方程组的通解代入另一个

3. 求得两个方程组的通解再求解关系

$A x = 0$ 的通解为 $k1ξ1+k2ξ2+⋯+kmξmk_1xi_1+k2xi_2+cdots+k_mxi_m$ ， $B x = 0$ 的通解为 $l1η1+l2η2+⋯+lnηnl_1eta_1+l_2eta_2+cdots+l_neta_n$ ，求公共解时，两通解应相等，即
$k1ξ1+k2ξ2+⋯+kmξm=l1η1+l2η2+⋯+lnηnk_1xi_1+k2xi_2+cdots+k_mxi_m=l_1eta_1+l_2eta_2+cdots+l_neta_n$
解上面的方程得到 $l_i、k_j$ 的关系后，得到的即为公共解

2）同解方程组

$A x = 0$ 和 $B x = 0$ 是同解方程组

$\Leftrightarrow$ $A x = 0$ 的解满足 $B x = 0$ 且 $B x = 0$ 的解满足 $A x = 0$

$\Leftrightarrow$ $r (A) = r (B)$ 且 $A x = 0$ 的解满足 $B x = 0$ 或 $B x = 0$ 的解满足 $A x = 0$

$\Leftrightarrow$ $\ B end{bmatrix})$ （三秩相同比较方便）

3）过渡矩阵

1. 基变换公式

由基 $A$ 到 $B$ 的变换，其中 $C$ 是过渡矩阵，且过渡矩阵是 可逆矩阵
$B = A C$

2. 坐标变换公式

在基 A 下的坐标为 x，在基 B 下的坐标为 y；C 是过渡矩阵，x=Cy 称为 y
$y=C^{-1}x 或 x=Cy$

当然坐标变换也可以转化为一般求方程组的问题

（七）补充的技巧性解题方法

1）利用秩的 “夹逼”

例1

已知 $A x = 0$ 有两个线性无关的解向量，则 $r (A) \geq 2$

又已知 $A B = O$ ，且 $A B$ 都是三阶矩阵，则 $r (A) + r (B) \leq 3$

还已知 $B$ 是非零矩阵，所以 $r (B) \neq = 0$

综上可知 $r (B) = 1$

例2

已知 $Am×nA_{mtimes n}$ ， $Bn×mB_{ntimes m}$ ， $AB=E_m$

于是有：

$m \geq r (A) \geq r (A B) = m$

$m \geq r (B) \geq r (A B) = m$

所以 $r (A) = r (B) = m$ ，即 A 的行向量组线性无关；B 的列向量组线性无关

其中主要利用 秩的不等式 和 基础解系的数量

2）基础解系等价的充要条件

$[β1,β2,⋯,βn]=[α1,α2,⋯,αn]A[beta_1,beta_2,cdots,beta_n]=[alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n]A$ ， $A$ 矩阵满秩

则基础解系 $[β1,β2,⋯,βn][beta_1,beta_2,cdots,beta_n]$ 、 $[α1,α2,⋯,αn][alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n]$ 等价

3）AB=O 用来找解向量

如果题目中给了 $A B = O$ 参照 $A x = 0$ 可知

B 矩阵的每一个列向量都是 $A x = 0$ 的解向量

其中最常见的情况由关键公式推出，即

$A^*=|A|A^{-1}$ ，两边同时乘 A 得到 $AA^*=|A|E$ 当 A 不满秩时，可以得到 $AA^*=|A|E=O$

即得到了 $AA^*=O$ ， $A^*$ 的每一个列向量都是 $A x = 0$ 的解

所以一般来讲，只有 $r (A) = n - 1$ 时，才会有 $∣ A ∣ = 0$ ，而此时 $r(A^*)=1$ ，即只有一个解

1 – 行列式 – 矩阵 的运算