矩阵论复习-过渡矩阵、生成子空间、表示矩阵、度量矩阵、酉空间、内积

一小部分矩阵论的整理复习，这个由于公式输入的太麻烦了，所以就弄了一点。后面直接看着书复习的。

矩阵论复习

- 线性空间
- 基与维数
- 基变换公式、过渡矩阵、坐标变换公式
- 线性子空间
- - 齐次方程组的解空间
  - 特征子空间
  - 生成子空间
  - 交空间
  - 和空间
  - 维数定理
  - 直和
- 线性映射
- 线性变换
- - 数乘变换、恒等变换、零变换
  - 线性变换的数量乘积、线性变换的和
  - 线性变换的加法与数乘的性质
- 线性变换的表示矩阵
- 欧氏空间
- - 欧式空间实例：
  - 基的度量矩阵(基的Gram矩阵)
  - 基的度量矩阵的性质
  - 两组基的度量矩阵的关系
- 酉空间
- - 酉空间中向量的标准内积
  - Hermite矩阵
  - 共轭转置阵的性质
  - 酉空间基的度量矩阵的性质
  - 酉空间两组基的度量矩阵的关系
- 内积空间的度量
- - 向量长度的性质
- 向量组正交
- 正交基
- Gram-Schmidt正交化

线性空间

设F是一数域，V是一非空集合，如果对于任意两个元素a、b属于V，总有唯一的一个元素c属于V与之对应，称c为a与b的和，记为c=a+b。

又对于任一数k属于F及任一元素a属于 V，有唯一的一个元素b属于V与之对应，称b为k与a的数乘，记为b=ka。

上述情况称V对加法和数乘运算封闭。

并且这两种运算满足以下8条规则：(设a、b、c属于V；k、l属于F)

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

a+o=a (假定o是零元素)

a+(-a)=o

1a=a

k(la)=(kl)a

k(a+b)=ka+kb

(k+l)a=ka+la

那么称V为数域F上的线性空间，记为V(F)。

基与维数

线性空间V(F)中的向量组x1、x2……xn称为V(F)的基或基向量组，如果它满足：

1.x1、x2……xn线性无关

2.V(F)中任意向量皆可写成x1、x2……xn的线性组合。

V(F)的维数：基向量组里面向量的个数n，称为dimV(F)=n。也称为n维向量空间。

例子：设正实数集
$R+={a∣a>0,a∈R}R^{+}=\{a|a>0,a\in R \}$
定义加法与数乘运算分别为：
$,\forall a,b\in R^{+}\\ ka=a^{k},k\in R$
证明R+是实数域R上的线性空间，并求R+的基和维数。

1.R+在如此定义的加法与数乘运算保持封闭，再验证运算满足8条规则：

任意a、b、c属于R+，任意k、l属于R：

a+b=ab=ba=b+a

(a+b)+c=ab+c=abc=a+bc=a+(b+c)

a+1=a，1为R+的零元素。

a+1/a=1，1/a为R+的负元素。

1a=a^1=a

后面三条也满足

k(la)=(kl)a

k(a+b)=ka+kb

(k+l)a=ka+la

所以可见R+构成实数域R上的线性空间。

现在求R+的基和维数。

由a+1=a，知1为R+的零元素。
$∀a≠1,a∈R+,∀b∈R+b=alogab=(logab)a\forall a \not=1,a\in R^{+},\forall b \in R^{+} \\ b=a^{log_{a}b}=(log_{a}b)a$
说明任一元素b均可表成非零元素a的线性组合，任何非零元素a均为R+的基，dimR+=1

基变换公式、过渡矩阵、坐标变换公式

设：
$α1,α2,…,αnβ1,β2,…,βn\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n} \\ \beta_{1},\beta_{2},…,\beta_{n}$
是线性空间两个基，且：
$β1=p11α1+p21α2+…+pn1αnβ2=p12α1+p22α2+…+pn2αn…………βn=p1nα1+p2nα2+…+pnnαn(1)\beta_{1}=p_{11}\alpha_{1}+p_{21}\alpha_{2}+…+p_{n1}\alpha_{n}\\ \beta_{2}=p_{12}\alpha_{1}+p_{22}\alpha_{2}+…+p_{n2}\alpha_{n}\\ …………\\ \beta_{n}=p_{1n}\alpha_{1}+p_{2n}\alpha_{2}+…+p_{nn}\alpha_{n}\\\tag{1}$
可以表示成：
$(β1,β2,…，βn)=(α1,α2,…，αn)P(2)(\beta_{1},\beta_{2},…，\beta_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{n})P \tag{2}$

$P=(Pij)n×n=[p11p12…p1np21p22…p2n⋮⋮⋱⋮pn1pn2…pnn](3)P=(P_{ij})_{n \times n}=\begin{bmatrix} p_{11}&p_{12}&…&p_{1n} \\ p_{21}&p_{22}&…&p_{2n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\p_{n1}&p_{n2}&…&p_{nn} \end{bmatrix}\tag{3}$

上式1中系数pij横排竖放构成P，如式3。

式2为基变换公式。

P为由基α到基β的过渡矩阵。

坐标变换公式：x1…xn是元素r在基α下的坐标，y1…yn是元素r在基β下的坐标

$[x1x2⋮xn]=P[y1y2⋮yn]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{bmatrix} =P\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{bmatrix}$

$[y1y2⋮yn]=P−1[x1x2⋮xn]\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{bmatrix} =P^{-1}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{bmatrix}$

线性子空间

设V1是数域F上的线性空间V的一个非空子集，且对V中线性运算满足：
$∀α,β∈V1,有α+β∈V1∀α∈V1，∀k∈F，有kα∈V1\forall \alpha,\beta\in V_{1},有\alpha+\beta\in V_{1} \\ \forall \alpha\in V_{1}，\forall k\in F，有k\alpha\in V_{1}$
称V1为V的线性子空间。
$dimV1≤dimVdimV_{1}\leq dimV$

齐次方程组的解空间

n元齐次线性方程组Ax=0接的集合构成线性空间，称为解空间，记为N(A)，他是Rn的子空间，若rankA=r，dimN(A)=n-r。

特征子空间

设A属于Rn*n，Av=λv,A的属于特征值λ的所有特征向量加上零向量构成Rn的子空间，称为特征子空间。

生成子空间

V(F)的一组向量：
$α1,α2,…，αm\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{m}$
令：
$V1=k1α1+…+kiαi+…+kmαmk∈F,i=1,2,…,mV_{1}={k_{1}\alpha_{1}+…+k_{i}\alpha_{i}+…+k_{m}\alpha_{m}}\\ k\in F,i=1,2,…,m$
V1表示由
$α1,α2,…，αm\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{m}$
生成子空间。

记为：
$V1=span(α1,α2,…，αm)V_{1}=span(\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{m})$
注：这里没有要求α1到αm线性无关。

生成子空间的维数等于向量组的秩。
$dimspan(α1,α2,…，αm)=rank(α1,α2,…，αm)dimspan(\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{m})=rank(\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{m})$

交空间

设V1，V2是V(F)的两个子空间，称：
$V1∩V2=α，α∈V1,α∈V2V_{1}\cap V_{2}=\alpha，\alpha \in V_{1},\alpha \in V_{2}$
为V1,V2的交空间。子空间的交空间仍是子空间。

和空间

设V1，V2是V(F)的两个子空间，称：
$V1+V2=α，α=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2V_{1}+ V_{2}=\alpha，\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{1} \in V_{1},\alpha_{2} \in V_{2}$
为V1,V2的和空间。子空间的和空间仍是子空间。

维数定理

设V1,V2是V(F)的两个子空间
$dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)dimV_{1}+dimV_{2}=dim(V_{1}+V_{2})+dim(V_{1}\cap V_{2})$

直和

设V1,V2是V(F)的两个子空间，若
$V1∩V2=0V_{1}\cap V_{2}= {0}$
则称他们的和为直和，记为
$V1⊕V2V_{1}\oplus V_{2}$
并且V1+V2是直和等价于以下命题：
$α∈V1+V2表达式唯一\alpha \in V_{1}+V_{2}表达式唯一$

$若α1,α2,…，αr是V1的基，β1,β2,…，βs是V2的基，则α1,α2,…，αr，β1,β2,…，βs是V1+V2的基。若\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{r} 是V_{1}的基，\beta_{1},\beta_{2},…，\beta_{s}是V_{2}的基，\\则\alpha_{1},\alpha_{2},…，\alpha_{r}，\beta_{1},\beta_{2},…，\beta_{s}是V_{1}+V_{2}的基。$

$dimV_{1}+dimV_{2}=dim(V_{1}+V_{2})$

线性映射

设S和T是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系，使任意s属于S，在T中存在唯一的元素t与s相对应，则称此对应关系是S到T的一个映射。它满足：S中任一元素都有像，像必在T中，像唯一。
$σ：s→t，或σ(s)=t称t为s在σ之下的像，s为t在σ之下的一个原像\sigma ：s \rightarrow t，或\sigma(s)=t\\ 称t为s在\sigma之下的像，s为t在\sigma之下的一个原像$
若S到T的映射满足：
$∀s1,s2∈S,有σ(s1+s2)=σ(s1)+σ(s1)∀s∈S,∀k∈F,有σ(ks)=kσ(s)\forall s_{1},s_{2} \in S,有\sigma(s_{1}+s_{2})=\sigma(s_{1})+\sigma(s_{1})\\ \forall s \in S,\forall k \in F,有\sigma(ks)=k\sigma(s)$
称σ是从S到T的线性映射。

线性变换

线性空间V(F)到自身的线性映射称为V(F)中的线性变换，记为
$A\mathscr{A}$

$若A1,A2都是Vn(F)中的线性变换，∀α∈Vn(F),A1(a)=A2(a)说明A1,A2相等，记为A1=A2易见A1=A2的充要条件为：A1(εi)=A2(εi),i=1,2,…,n其中ε1,…,εi,…,εn为Vn(F)的基若\mathscr{A}_{1},\mathscr{A}_{2}都是V_{n}(F)中的线性变换，\forall \alpha \in V_{n}(F),\mathscr{A}_{1}(a)=\mathscr{A}_{2}(a)\\ 说明\mathscr{A}_{1},\mathscr{A}_{2}相等，记为\mathscr{A}_{1}=\mathscr{A}_{2}\\ 易见\mathscr{A}_{1}=\mathscr{A}_{2}的充要条件为：\mathscr{A}_{1}(\varepsilon_{i})=\mathscr{A}_{2}(\varepsilon_{i}),i=1,2,…,n\\ 其中\varepsilon_{1},…,\varepsilon_{i},…,\varepsilon_{n}为V_{n}(F)的基$

数乘变换、恒等变换、零变换

$∀k∈F,∀α∈Vn(F),定义A(a)=ka,称A为由数所决定的数乘变换，几何上表示A(a)与a共线。k=1，称为恒等变换，记为C,即C(a)=ak=0,称为零变换，记为O，即O(a)=0\forall k \in F,\forall \alpha \in V_{n}(F),定义\mathscr{A}(a)=ka,\\ 称\mathscr{A}为由数所决定的数乘变换，几何上表示\mathscr{A}(a)与a共线。\\ k=1，称为恒等变换，记为\mathscr{C},即\mathscr{C}(a)=a\\ k=0,称为零变换，记为\mathscr{O}，即\mathscr{O}(a)=0$

线性变换的数量乘积、线性变换的和

$∀k∈F,∀α∈Vn(F),定义(A1+A2)(a)=A1(a)+A2(a),称A1+A2为线性变换A1与A2的和定义(kA)(a)=kA(a)称kA为k与线性变换A的数量乘积记(−1)A=−A,称−A是A的负变换，显然−A+A=O定义(A1A2)(a)=A1(A2(a)),称A1A2为线性变换A1与A2的乘积\forall k \in F,\forall \alpha \in V_{n}(F),定义(\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2})(a)=\mathscr{A}_{1}(a)+\mathscr{A}_{2}(a),\\ 称\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2}为线性变换\mathscr{A}_{1}与\mathscr{A}_{2}的和\\ \\ 定义(k\mathscr{A})(a)=k\mathscr{A}(a)\\ 称k\mathscr{A}为k与线性变换\mathscr{A}的数量乘积\\ 记(-1)\mathscr{A}=-\mathscr{A},称-\mathscr{A}是\mathscr{A}的负变换，显然-\mathscr{A}+\mathscr{A}=\mathscr{O}\\ \\ 定义(\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2})(a)=\mathscr{A}_{1}(\mathscr{A}_{2}(a)),称\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2}为线性变换\mathscr{A}_{1}与\mathscr{A}_{2}的乘积$

线性变换的加法与数乘的性质

$交换律：A1+A2=A2+A1结合律：(A1+A2)+A3=A1+(A2+A3)零元素：A+O=A负元素：A+(−A)=01数乘：1A=A数结合：k(lA)=(kl)A分配律：(k+l)A=kA+lA分配律：k(A1+A2)=kA1+kA2Vn(F)上的所有线性变换的集合构成一个线性空间，记为End(V)交换律：\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2}=\mathscr{A}_{2}+\mathscr{A}_{1}\\ 结合律：(\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2})+\mathscr{A}_{3}=\mathscr{A}_{1}+(\mathscr{A}_{2}+\mathscr{A}_{3})\\ 零元素：\mathscr{A}+\mathscr{O}=\mathscr{A}\\ 负元素：\mathscr{A}+(-\mathscr{A})=0\\ 1数乘：1\mathscr{A}=\mathscr{A}\\ 数结合：k(l\mathscr{A})=(kl)\mathscr{A}\\ 分配律：(k+l)\mathscr{A}=k\mathscr{A}+l\mathscr{A}\\ 分配律：k(\mathscr{A}_{1}+\mathscr{A}_{2})=k\mathscr{A}_{1}+k\mathscr{A}_{2}\\ V_{n}(F)上的所有线性变换的集合构成一个线性空间，记为End(V)$

线性变换的表示矩阵

$设A是Vn(F)上的线性变换，ε1,ε2,…,εn是Vn(F)的基，于是A(ε1),A(ε1),…,A(εn)可由基ε1,ε2,…,εn线性表示，且表示法唯一。设:A(ε1)=a11ε1+a21ε2+…+an1εnA(ε2)=a12ε1+a22ε2+…+an2εn……A(εn)=a1nε1+a2nε2+…+annεn令A=(aij)n×n,称A为线性变换A在基ε1,ε2,…,εn下的表示矩阵线性变换A可唯一确定方阵A，给定一个方阵A，在基ε1,ε2,…,εn下可唯一确定一个线性变换A设\mathscr{A}是V_{n}(F)上的线性变换，\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}是V_{n}(F)的基，\\ 于是\mathscr{A}(\varepsilon_{1}),\mathscr{A}(\varepsilon_{1}),…,\mathscr{A}(\varepsilon_{n})可由基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}线性表示，且表示法唯一。设:\\ \mathscr{A}(\varepsilon_{1})=a_{11}\varepsilon_{1}+a_{21}\varepsilon_{2}+…+a_{n1}\varepsilon_{n}\\ \mathscr{A}(\varepsilon_{2})=a_{12}\varepsilon_{1}+a_{22}\varepsilon_{2}+…+a_{n2}\varepsilon_{n}\\ ……\\ \mathscr{A}(\varepsilon_{n})=a_{1n}\varepsilon_{1}+a_{2n}\varepsilon_{2}+…+a_{nn}\varepsilon_{n}\\ 令A=(a_{ij})_{n\times n},称A为线性变换\mathscr{A}在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}下的表示矩阵\\ 线性变换\mathscr{A}可唯一确定方阵A，给定一个方阵A，在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}下可唯一确定一个线性变换\mathscr{A}$

欧氏空间

$对任给的\alpha,\beta \in V,按某种法则对应着一个实数，记为(\alpha,\beta),\\ 如果满足下面四个条件：\\ 交换律：(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\\ 齐次性：(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta),k为任意实数\\ 分配律：(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma),\gamma \in V\\ 非负性：(\alpha,\alpha)\geq0;(\alpha,\alpha)=0,当且仅当\alpha=\theta\\ 则称实数(\alpha,\beta)为定义在V上的内积，定义了这样内积的n维线性空间V为：\\ n维欧几里得空间，简称欧式空间，记为V_{n}(R,E)$

欧式空间实例：

$在n维线性空间Rn中，∀α=(a1,a2,…，an)T,∀β=(b1,b2,…，bn)T,若规定：(α,β)=αTβ=βTα=∑i=1naibi则它满足上面那四个条件，因此这个式子所定义的内积为Rn中向量的标准内积。在n维线性空间R^{n}中，\forall\alpha=(a_{1},a_{2},…，a_{n})^{T},\forall\beta=(b_{1},b_{2},…，b_{n})^{T},\\ 若规定：(\alpha,\beta)=\alpha^{T}\beta=\beta^{T}\alpha=\sum_{i = 1}^{n}a_ib_i\\ 则它满足上面那四个条件，因此这个式子所定义的内积为R^n中向量的标准内积。$

基的度量矩阵(基的Gram矩阵)

$设V是n维欧式空间，ε1,ε2,…,εn是它的一个基，令gij=(εi,εj),G=(gij),则称G为基ε1,ε2,…,εn的度量矩阵，也称为基的Gram矩阵设V是n维欧式空间，\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}是它的一个基，\\ 令g_{ij}=(\varepsilon_{i},\varepsilon_{j}),G=(g_{ij}),\\ 则称G为基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}的度量矩阵，也称为基的Gram矩阵$

基的度量矩阵的性质

$设A为n维欧式空间V的基ε1,ε2,…,εn的度量矩阵，则AT=A,即A是实对称矩阵∀α,β∈V;α,β在基ε1,ε2,…,εn下的坐标分别为：x=(x1,…,xi,…，xn)T,y=(y1,…,yi,…，yn)T则(α,β)=xTAyθ≠∀α∈V,α=(ε1,ε2,…,εn)x,必有xTAx>0即A是正定矩阵设A为n维欧式空间V的基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}的度量矩阵，则\\ A^T=A,即A是实对称矩阵\\ \forall\alpha,\beta\in V;\alpha,\beta在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}下的坐标分别为：\\ x=(x_{1},…,x_{i},…，x_{n})^{T},y=(y_{1},…,y_{i},…，y_{n})^{T}\\ 则(\alpha,\beta)=x^TAy\\ \theta\not=\forall\alpha\in V,\alpha=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n})x,必有x^TAx>0\\ 即A是正定矩阵$

这意味着，欧氏空间中广义的向量的内积，可通过它们在基下的坐标及其度量矩阵的双线性函数来计算。

两组基的度量矩阵的关系

$设ε1,ε2,…,εn;η1,η2,…,ηn为n维欧式空间两个基，他们的度量矩阵分别为A,B.C是ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡矩阵，则：B=CTAC设\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n};\eta_1,\eta_2,…,\eta_n为n维欧式空间两个基，\\ 他们的度量矩阵分别为A,B.\\ C是\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}到\eta_1,\eta_2,…,\eta_n的过渡矩阵，则：\\ B=C^TAC$

这说明，欧氏空间中不同基的度量矩阵是相合矩阵

酉空间

$设V是复数域C上的n维线性空间，对任给的α,β∈V,按某种法则对应着一个复数，记为(α,β),如果满足下面四个条件：共轭交换律：(α,β)=(α,β)‾共轭齐次性：(kα,β)=kˉ(α,β)分配律：(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ),γ∈V非负性：(α,α)≥0;(α,α)=0,当且仅当α=θ则称复数(α,β)为定义在V上的内积，定义了这样内积的n维线性空间为n维酉空间，记为Vn(C,U)设V是复数域C上的n维线性空间，对任给的\alpha,\beta \in V,\\ 按某种法则对应着一个复数，记为(\alpha,\beta),如果满足下面四个条件：\\ 共轭交换律：(\alpha,\beta)=\overline{(\alpha,\beta)}\\ 共轭齐次性：(k\alpha,\beta)=\bar k(\alpha,\beta)\\ 分配律：(\alpha+\beta, \gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma),\gamma \in V\\ 非负性：(\alpha,\alpha)\geq0;(\alpha,\alpha)=0,当且仅当\alpha=\theta\\ 则称复数(\alpha,\beta)为定义在V上的内积，\\ 定义了这样内积的n维线性空间为n维酉空间，记为V_{n}(C,U)$

酉空间中向量的标准内积

$在n维线性空间Cn中，∀α=(a1,…,ai,…,an)T,∀β=(b1,…,bi,…,bn)T,定义内积(α,β)=αHβ=∑i=1naˉibi其中αH=(aˉ1,…,aˉi,…,aˉn)T,则Cn构成一个酉空间，仍以Cn记之。上述定义的内积，称为酉空间Cn中向量的标准内积。在n维线性空间C^n中，\\ \forall \alpha=(a_1,…,a_i,…,a_n)^T,\forall \beta=(b_1,…,b_i,…,b_n)^T,\\ 定义内积(\alpha,\beta)=\alpha^H\beta=\sum_{i = 1}^{n}\bar a_ib_i\\ 其中\alpha^H=(\bar a_1,…,\bar a_i,…,\bar a_n)^T,则C^n构成一个酉空间，仍以C^n记之。\\ 上述定义的内积，称为酉空间C^n中向量的标准内积。$

Hermite矩阵

$设A=Cm×n,Aˉ表示由A元素的共轭复数所组成的矩阵；令AH=(Aˉ)T,则称AH为A的共轭转置阵。特别若AH=A，则称A为Hermite矩阵；AH=−A，则称A为反Hermite矩阵Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与反对称阵的推广。设A=C^{m\times n},\bar A表示由A元素的共轭复数所组成的矩阵；\\ 令A^H=(\bar A)^T,则称A^H为A的共轭转置阵。\\ 特别若A^H=A，则称A为Hermite矩阵；\\ A^H=-A，则称A为反Hermite矩阵\\ Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与反对称阵的推广。$

共轭转置阵的性质

$AH=AT‾(A+B)H=AH+BH(kA)H=kˉAH(AB)H=BHAH(AH)H=AA可逆时，(AH)−1=(A−1)HA^H=\overline {A^T}\\ (A+B)^H=A^H+B^H\\ (kA)^H=\bar kA^H\\ (AB)^H=B^HA^H\\ (A^H)^H=A\\ A可逆时，(A^H)^{-1}=(A^{-1})^H$

酉空间基的度量矩阵的性质

$设A为n维酉空间V的基ε1,ε2,…,εn的度量矩阵，则A=AH,即A是Hermite矩阵∀α,β∈V;α,β在基ε1,ε2,…,εn下的坐标分别为：x=(x1,…,xi,…，xn)T,y=(y1,…,yi,…，yn)T则(α,β)=xHAyθ≠∀α∈V,α=(ε1,ε2,…,εn)x,必有xHAx>0即A是正定矩阵设A为n维酉空间V的基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}的度量矩阵，则\\ A=A^H,即A是Hermite矩阵\\ \forall\alpha,\beta\in V;\alpha,\beta在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}下的坐标分别为：\\ x=(x_{1},…,x_{i},…，x_{n})^{T},y=(y_{1},…,y_{i},…，y_{n})^{T}\\ 则(\alpha,\beta)=x^HAy\\ \theta\not=\forall\alpha\in V,\alpha=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n})x,必有x^HAx>0\\ 即A是正定矩阵$

酉空间两组基的度量矩阵的关系

$设ε1,ε2,…,εn;η1,η2,…,ηn为n维酉空间两个基，他们的度量矩阵分别为A,B.C是ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡矩阵，则：B=CHAC设\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n};\eta_1,\eta_2,…,\eta_n为n维酉空间两个基，\\ 他们的度量矩阵分别为A,B.\\ C是\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},…,\varepsilon_{n}到\eta_1,\eta_2,…,\eta_n的过渡矩阵，则：\\ B=C^HAC$

内积空间的度量

$设V是酉(欧式)空间，∀α∈V,α的长度定义为：∣∣α∣∣=(α,α)长度为1的向量称为单位向量，如果α≠θ,则α∣∣α∣∣是一个单位向量。∀α,β∈V,称∣∣α−β∣∣为α,β之间的距离，记为d(α,β)设V是酉(欧式)空间，\forall\alpha\in V,\alpha的长度定义为：\\ ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\\ 长度为1的向量称为单位向量，\\ 如果\alpha\not= \theta,则\frac{\alpha}{||\alpha||}是一个单位向量。\\ \forall\alpha,\beta\in V,称||\alpha-\beta||为\alpha,\beta之间的距离，记为d(\alpha,\beta)\\$

向量长度的性质

$设V是酉(欧式)空间，则向量的长度具有以下性质：∣∣α∣∣≥0,∣∣α∣∣=0时，α=θ∣∣kα∣∣=∣k∣∣∣α∣∣∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣∣∣β∣∣，(Cauchy−Schwarz不等式)等号成立的充要条件是α，β线性相关∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣，(三角不等式)设V是酉(欧式)空间，则向量的长度具有以下性质：\\ ||\alpha||\geq0,||\alpha||=0时，\alpha=\theta\\ ||k\alpha||=|k| ||\alpha||\\ |(\alpha,\beta)|\leq||\alpha||||\beta||，(Cauchy-Schwarz不等式)\\ 等号成立的充要条件是\alpha，\beta线性相关\\ ||\alpha+\beta||\leq||\alpha||+||\beta||，(三角不等式)$

向量组正交

$设α，β为欧氏空间两个非零向量，他们之间夹角<α,β>定义为：<α,β>=arccos(α,β)∣∣α∣∣∣∣β∣∣,0≤<α,β>≤π对于酉空间两个非零向量，其夹角：cos2<α,β>=(α,β)(β,α)(α,α)(β,β)=∣(α,β)∣2(α,α)(β,β)设\alpha，\beta为欧氏空间两个非零向量，他们之间夹角<\alpha,\beta>定义为：\\ <\alpha,\beta>=arccos\frac{(\alpha,\beta)}{||\alpha||||\beta||},\\ 0\leq<\alpha,\beta>\leq \pi\\ 对于酉空间两个非零向量，其夹角：\\ cos^2<\alpha,\beta>=\frac{(\alpha,\beta)(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)(\beta,\beta)}=\frac{|(\alpha,\beta)|^2}{(\alpha,\alpha)(\beta,\beta)}$

$(α,β)=0时，称α与β正交。θ与所有向量正交(\alpha,\beta)=0时，称\alpha与\beta正交。\\ \theta与所有向量正交$

$α1,…,αi,…,αm是不含零向量的向量组，若他们两两正交，则说其为正交向量组。若正交向量组内每一个向量都是单位向量，则说该向量组是标准正交向量组。显然α1,…,αi,…,αm是标准正交向量组的充要条件是：(αi,αj)=δij={1,i=j0,i≠ji,j=1,2,…m正交向量组是线性无关向量组\alpha_1,…,\alpha_i,…,\alpha_m是不含零向量的向量组，若他们两两正交，则说其为正交向量组。\\ 若正交向量组内每一个向量都是单位向量，则说该向量组是标准正交向量组。\\ 显然\alpha_1,…,\alpha_i,…,\alpha_m是标准正交向量组的充要条件是：\\ (\alpha_i,\alpha_j)=\delta_{ij}= \begin{cases} 1,\quad i=j\\ 0, \quad i\not=j \end{cases}\quad i,j=1,2,…m\\ 正交向量组是线性无关向量组$

正交基

$在n维空间中，由n个正交向量所组成的基为正交基，由n个标准正交向量所组成的基为标准正交基。α1,…,αi,…,αm是标准正交基充要条件是它的Gram矩阵，即它的度量矩阵是单位矩阵。对于酉(欧式)空间，总能从一组线性无关的极大组出发，由Gram−Schmidt正交化方法，构造一个标准正交基。在n维空间中，由n个正交向量所组成的基为正交基，\\ 由n个标准正交向量所组成的基为标准正交基。\\ \alpha_1,…,\alpha_i,…,\alpha_m是标准正交基充要条件是它的Gram矩阵，\\ 即它的度量矩阵是单位矩阵。\\ 对于酉(欧式)空间，总能从一组线性无关的极大组出发，\\ 由Gram-Schmidt正交化方法，构造一个标准正交基。$

Gram-Schmidt正交化

$设α1,…,αi,…,αr是线性无关的向量组Gram−Schmidt正交化过程：设\alpha_1,…,\alpha_i,…,\alpha_r是线性无关的向量组\\ Gram-Schmidt正交化过程：\\$

(1)正交化

(2)标准(单位)化
$γ1=β1∣∣β1∣∣γ2=β2∣∣β2∣∣…γr=βr∣∣βr∣∣则γ1,γ2,…,γr为span(α1,α2,…,αr)一个标准正交基\gamma_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||}\\ \gamma_2=\frac{\beta_2}{||\beta_2||}\\ …\\ \gamma_r=\frac{\beta_r}{||\beta_r||}\\ 则\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_r为span(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r)一个标准正交基$