文章目录
- 前言
- 1 引例-零件加工问题
- 2 数据插值的计算机制
- 3 数据插值的实现方法
- 3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题
- 4 应用案例2-机动车刹车距离问题
- 5 应用案例3-沙盘制作问题
- 总结
前言
本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第3、4小结的学习笔记,通过查阅本文,可以轻松掌握利用MATLAB进行数据插值。Enjoyyourreading!Enjoy\ your\ reading!Enjoy your reading!
欢迎大家👍,收藏⭐,转发🚀,
如有问题、建议请您在评论区留言💬。
1 引例-零件加工问题
在飞机制造中,机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大,通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据,求x每改变0.1时y的值。
x | 0 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 0 | 1.2 | 1.7 | 2.0 | 2.1 | 2.0 | 1.8 | 1.2 | 1.0 | 1.6 |
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=0:0.1:15;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1)
2 数据插值的计算机制
从数学上来说,数据插值是一种函数逼近的方法。
xxx | x1x2…xk…xnx_1 \ x_2 \ …x_k…x_nx1 x2 ...xk...xn |
---|---|
yyy | y1y2…yk…yny_1\ y_2\ …y_k…y_ny1 y2 ...yk...yn |
y=f(x)y=f(x)y=f(x)
它的实质就是用一个近似函数ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)来逼近未知函数f(x)f(x)f(x),然后利用这个近似函数ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)进行插值。
3 数据插值的实现方法
数据插值的实现方法
在MATLAB中,一维插值函数为interp1(),其调用格式为:
Y1=interp1(X,Y,X1,method)
该语句将根据X、Y的值,计算函数在X1处的值。其中,X、Y是两个等长的已知向量,分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量,表示要插值的点。
method参数用于指定插值方法,常用的取值有以下四种:
(1)linear:线性插值,默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线上选取对应插值点的数据。
(2)nearest:最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
(3)pchip:分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式,除满足插值条件,还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等,使得曲线光滑的同时,还具有保形性。
(4)spline:3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式,使其插值函数除满足插值条件外,还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
思考:为什么这两种插值方法都用3次多项式而不用更高次的?
这里就要提一下龙格现象了,龙格(Runge)发现多项式插值并非次数越高越精确!
四种方法的比较:
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=0:0.1:15;
y1=interp1(x,y,x1,'spline'); %3次样条插值
subplot(2,2,1)
plot(x1,y1)
legend('3次样条插值')
hold on
y2=interp1(x,y,x1,'linear'); %线性插值
subplot(2,2,2)
plot(x1,y2,'r')
legend('线性插值')
y3=interp1(x,y,x1,'pchip'); %分段3次埃尔米特插值
subplot(2,2,3)
plot(x1,y3,'g')
legend('分段3次埃尔米特插值')
y4=interp1(x,y,x1,'nearest'); %最近点插值
subplot(2,2,4)
plot(x1,y4,'b')
legend('最近点插值')
线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大,误差越小。
3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言,3次埃尔米特插值具有保形性;而3次样条插值要求其二阶导数也连续,所以插值函数的性态更好。
二维插值函数:
MATLAB中的二维插值函数为interp2(),其调用格式为:
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
其中,X、Y是两个向量,表示两个参数的采样点,Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量,表示要插值的点。
3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题
在某粮情自动测控系统中,根据粮温、粮湿计算平衡点湿度,与大气湿度进行比较,再根据通风模拟情况决定是否自动进行通风。已测得平衡点湿度与粮温、粮湿关系的部分数据如下表,请推算相应范围内温度每变化1度、湿度每变化1个点的平衡点湿度。
平衡点湿度与粮温、粮湿度关系表
(第一列:粮温,第一行:粮湿,其余:平衡点湿度)
粮温\粮湿 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 8.9 | 10.32 | 11.3 | 12.5 | 13.9 | 15.3 | 17.8 | 21.3 |
5 | 8.7 | 10.8 | 11 | 12.1 | 13.2 | 14.8 | 16.55 | 20.8 |
10 | 8.3 | 9.65 | 10.88 | 12 | 13.2 | 14.6 | 16.4 | 20.5 |
15 | 8.1 | 9.4 | 10.7 | 11.9 | 13.1 | 14.5 | 16.2 | 20.3 |
20 | 8.1 | 9.2 | 10.8 | 12 | 13.2 | 14.8 | 16.9 | 20.9 |
x=20:10:90;
y=(0:5:20)';
z=[8.9,10.32,11.3,12.5,13.9,15.3,17.8,21.3;8.7,10.8,11,12.1,13.2,14.8,16.55,20.8;8.3,9.65,10.88,12,13.2,14.6,16.4,20.5;8.1,9.4,10.7,11.9,13.1,14.5,16.2,20.3;8.1,9.2,10.8,12,13.2,14.8,16.9,20.9];
xi=20:90;
yi=(0:20)';
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
surf(xi,yi,zi)
4 应用案例2-机动车刹车距离问题
在车辆行驶中,从驾驶员看到障碍物开始,到作出判断而采取制动措施停车所需的最短距离叫停车视距。停车视距由三部分组成:一是驾驶员反应时间内行驶的距离(即反应距离);二是开始制动到车辆完全停止所行驶的距离(即制动距离);三是车辆停止时与障碍物应该保持的安全距离。其中,制动距离主要与行驶速度和路面类型有关。根据测试,某型车辆在潮湿天气于沥青路面行驶时,其行车速度(单位:km/h)与制动距离(单位:m)的关系如下表所示。
速度 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
制动距离 | 3.15 | 7.08 | 12.59 | 19.68 | 28.34 | 38.57 | 50.4 | 63.75 | 78.71 | 95.22 | 113.29 | 132.93 | 154.12 | 176.87 |
假设驾驶员的反应时间为10s,安全距离为10m。请问:
①根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯,其驾驶时的有效视距为120m,则其在该路面行车时,时速最高不能超过多少(结果取整)?
②若以表中数据为参考,设计一条最高时速为125km/h的高速公路,则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米?
设速度为vvv,停车视距为ddd,反应距离为d1d_1d1,制动距离为d2d_2d2,安全距离为d3d_3d3,反应时间为asa_sas,则
d=d1+d2+d3d=d_1+d_2+d_3d=d1+d2+d3其中,d1=asvd_1=a_svd1=asv,d2d_2d2为v的函数,d3d_3d3已知。
第一问:根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯,其驾驶时的有效视距为120m,则其在该路面行车时,时速最高不能超过多少(结果取整)?
已知反应时间为10s,安全距离为10m,可采用解方程方法:
10v+d2+10=12010v+d_2+10=12010v+d2+10=120存在的问题是,d2d_2d2是vvv的函数,但是函数关系未知,方程不可解。
下面考虑数据插值方法,以表格中的数据为样本,进行数据插值,计算出与120m的停车视距所对应的速度指标。
编程思路:
第一步:建立速度和停车视距向量。
第二步:以1为单位,对采样区间内所有速度进行插值,计算出相应的停车视距。
第三步:求出停车视距120所对应的速度。
第四步:绘图展示。
如何根据停车视距120找到对应的速度?
第一步:令代表停车视距的向量di减去120,再取绝对值,得到一个新的向量x。
第二步:将x按升序排列,并记录最小元素的序号,该序号即为停车视距120所对应的速度数据在向量vi中的序号。
第三步:根据序号取得速度数据。
v=20:10:150;
vs=v.*(1000/3600);
d1=10.*vs;
d2=[3.15,7.08,12.59,19.68,28.34,38.57,50.4,63.75,78.71,95.22,113.29,132.93,154.12,176.87];
d3=10;
d=d1+d2+d3;
vi=20:1:150;
di=interp1(v,d,vi,'spline');
x=abs(di-120);
[y,i]=sort(x);
vi(i(1))
plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp')
停车视距的增长随着车速增加呈非线性增长。速度越快,要求视线越远。
第二问:设计一条最高时速为125km/h的高速公路,则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米?
>>j=find(vi==125);
>>di(j)
>>ans=480.14
>>plot(vi,di,125,480.14,'rp')
5 应用案例3-沙盘制作问题
某地面部队分成红蓝两方在指定的陌生区域(平面区域[0,2000]*[0,2000]内,单位:m)进行作战演习。在演习过程中,红方侦查单位已经测得一些地点的高程如下表所示。
y/x | 0 | 200 | 400 | 600 | 800 | 1000 | 1200 | 1400 | 1600 | 1800 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 2000 | 2000 | 2001 | 1992 | 1954 | 1938 | 1972 | 1995 | 1999 | 1999 |
200 | 2000 | 2002 | 2006 | 1908 | 1533 | 1381 | 1728 | 1959 | 1998 | 2000 |
400 | 2000 | 2005 | 2043 | 1921 | 977 | 897 | 1310 | 1930 | 2003 | 2000 |
600 | 1997 | 1978 | 2009 | 2463 | 2374 | 1445 | 1931 | 2209 | 2050 | 2003 |
800 | 1992 | 1892 | 1566 | 1971 | 2768 | 2111 | 2653 | 2610 | 2121 | 2007 |
1000 | 1991 | 1875 | 1511 | 1556 | 2221 | 1986 | 2660 | 2601 | 2119 | 2007 |
1200 | 1996 | 1950 | 1797 | 2057 | 2849 | 2798 | 2608 | 2303 | 2052 | 2003 |
1400 | 1999 | 1999 | 2079 | 2685 | 3390 | 3384 | 2781 | 2165 | 2016 | 2000 |
1600 | 2000 | 2002 | 2043 | 2271 | 2668 | 2668 | 2277 | 2049 | 2003 | 2000 |
1800 | 2000 | 2000 | 2004 | 2027 | 2067 | 2067 | 2027 | 2004 | 2000 | 2000 |
①根据表中数据,制作军事沙盘。
②在演习范围内,占领最大高地的一方将获得居高临下的优势。请问红方应第一时间抢占哪块区域。
解题思路:
第一问:用二维插值估算数据,以方便制作军事沙盘。
第二问:在插值的基础上,绘制等高线图,找到最大高地。
x=0:200:1800;
y=x';
z=[2000,2000,2001,1992,1954,1938,1972,1995,1999,1999;
2000,2002,2006,1908,1533,1381,1728,1959,1998,2000;
2000,2005,2043,1921,977,897,1310,1930,2003,2000;
1997,1978,2009,2463,2374,1445,1931,2209,2050,2003;
1992,1892,1566,1971,2768,2111,2653,2610,2121,2007;
1991,1875,1511,1556,2221,1986,2660,2601,2119,2007;
1996,1950,1797,2057,2849,2798,2608,2303,2052,2003;
1999,1999,2079,2685,3390,3384,2781,2165,2016,2000;
2000,2002,2043,2271,2668,2668,2277,2049,2003,2000;
2000,2000,2004,2027,2067,2067,2027,2004,2000,2000];
surf(x,y,z);
x1=0:100:1800;
y1=x1';
z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');
surf(x1,y1,z1);
x2=0:50:1800;
y2=x2';
z2=interp2(x1,y1,z1,x2,y2,'spline');
surf(x2,y2,z2);
contour(x2,y2,z2,12)
总结
这篇文章是否对您有帮助呢?最后
欢迎大家👍 收藏⭐ 转发🚀,
如有问题、建议请您在评论区留言💬。