[算法笔记]二叉树基础

前言：部分资料引自极客大学《数据结构与算法之美》，感谢王争老师！
参考链接：

• https://visualgo.net/en/bst?slide=1
• https://zh.wikipedia.org/wiki/二叉树#前（先）序、中序、後序遍歷
• https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-inorder-traversal/
• https://time.geekbang.org/column/article/67856

如何表示（或者存储）一棵二叉树？

想要存储一棵二叉树，我们有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。
1. 链式存储
每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。

2. 基于数组的顺序存储法
把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

思考：根节点存储在下标为1的位置，而不是0的位置，有可能和二进制位有关。
下表用4位二进制数来表示图中完全二叉树的示例:

根节点	左节点	右节点
0001	0010	0011
0010	0100	0101
0011	0110	0111
0100	1000	1001
0101	1010	1011

可以发现：
左节点下标 = 根节点下标右移1位
右节点下标 = 根节点下标右移1位 + 1
如果根节点下标从0开始，就不好运算了…

如果是非完全二叉树，且以数组的形式存储，在相应空白结点处还是会浪费空间的。所以完全二叉树使用数组来存储，空间浪费最少。

二叉树的属性

关于“树”，还有三个比较相似的概念：高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）。它们的定义是这样的：

以下图为例：

王争老师对于二叉树的个人理解：
“高度”这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第 10 层楼的高度、第 13 层楼的高度，起点都是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且计数的起点是 0。
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是 0。
“层数”跟深度的计算类似，不过，计数起点是 1，也就是说根节点位于第 1 层。

二叉树的遍历

经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。

• 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

这里使用了递归的知识，具体代码实现引自wiki：
前序遍历

visit(node)print node.valueif node.left  != null then visit(node.left)if node.right != null then visit(node.right)

中序遍历

visit(node)if node.left  != null then visit(node.left)print node.valueif node.right != null then visit(node.right)

后序遍历

visit(node)if node.left  != null then visit(node.left)if node.right != null then visit(node.right)print node.value

在这个二叉树中，
前序遍历的结果：M，G，D，B，A，C，F，E，J，H，I，K，L，S，P，O，N，Q，R，W，U，T，V，X，Z，Y
中序遍历的结果：A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z
后序遍历的结果：A，C，B，E，F，D，I，H，L，K，J，G，N，O，R，Q，P，T，V，U，Y，Z，X，W，S，M

对于各个遍历过程的个人理解：
前序遍历：

• 用小明家族继承传家宝打比喻或许比较形象：继承家族传家宝的原则是传长子不传幼子，传后代不传兄弟 —- 从祖父，到父亲，到小明本人。假设小明绝后（没有子孙结点），那么小明的遗产就交给他的弟弟小磊（当前节点的 兄弟节点 ）。如果小磊也很不幸绝后（好惨），那么就将财产留给他的叔叔，由叔叔传承给小磊的堂兄弟。 感觉传完宝物之后一个家族就完蛋了…

中序遍历：

• 每次取走二叉树中 最左边的元素，其中最左边是字面意思（哈哈）。
  就拿这幅图为例，ABCDEFGHIJKL…是不是一目了然（手动狗头）
  注意根节点永远在左节点以及其后代的右部，右节点及其后代的左部。
  
  后序遍历：
  假设小明要搭积木城堡，规则是先打好地基，再盖上楼顶。而且两个相邻城堡可以组合成一个大城堡的地基。
  还是以这幅图为例，先打好地基AC，盖上屋顶B。此时一个城堡搭建好了，可以搭建下一个城堡：先打好地基E，然后盖上屋顶F。最后盖第三层D…
  

用二叉树表示下述表达式：a+b*(c-d)-e/f （又是取走最左边元素…同时）

• 先序遍历 的序列是：-+a*b-cd/ef （传承家产）

• 中序遍历 的序列是：a+b*c-d-e/f （摘除最左边）

• 后序遍历 的序列是：abcd-*+ef/- （搭城堡）

小结：遍历二叉树：L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树，则先(根)序遍历二叉树的顺序是DLR，中(根)序遍历二叉树的顺序是LDR，后(根)序遍历二叉树的顺序是LRD。还有按层遍历二叉树。这些方法的时间复杂度都是O(n)，n为结点个数。

最后安利一个很好用的二叉树在线可视化平台： https://visualgo.net/en/bst?slide=1