今天我们和大家讲一下什么是函数（function）这个题目，那什么是函数了，函数在微积分里扮演了至关重要的角色，很基本也是很重要的概念，不过这个概念它有点抽象，所以如果想要更清楚的去了解函数，那其实我们可以把它想象成一部机器，那这部机器了它会有一个输入，也就是input它会有一个输出也就是output,那它还会有一个内部的对应法则，那什么是对应法则了，我们把它想象成好像电脑里面的程式一样，那当我们输入某一个input进去这个机器以后了，那这个程序会因为我们的输入去消化去组则，然后产生一个恰当的输出(output),那这样的输出的对应法则的理念，我们就称它为函数，那在数学上，我们通常会用X来表示这个输入，那我们把这个X叫做自变数，那函数的输出了，我们用f(X)表示，就叫做应变数
前面这个叫法，你还是觉得很抽象，那我们不如直接看一个列子，假设我们想要在市场里摆摊位卖苹果，这些苹果的价格，假设定价是苹果1公斤24元，那其实这个时候对于不同重量的苹果了，它所对于不同的价格，我们就可以把它看成是函数的关系，那这个函数了我们就简单的把它写成f(x)=24X,那这边的自变数x代表的就是苹果的重量（公斤），那这边的应变数f(x)代表的就是苹果的价格（元），那有了这样的对应法则以后了，那当每一个苹果的重量，比如说是3公斤以后，我们就把X等于3输入机器里面，那就会得到它的价格，f(30=24X3算出来就是=72，那当每一个苹果的重量称出来的重量4.5公的时候了，一样把X等于4.5输入机器里面，那就会得到它的价格，f(4.5)=24X4.5,那最后的输出了就是108元，那这种重量对应价格的关系，我们就可以说她们是函数的关系，那我在举另外一个列子，假设我们要去海洋公园，可能是去看看海豚，玩一下游乐设施，那当我们走到售票处的时候了，上面的售票咨询是写着身高130cm(含）以上:990元，都要购买票，那这个票价了是990元，那如何身高130cm以下：690元，只需要购买半票，那这个票价了是690元，那这个票价的咨询了，那它这个票价的咨询了，那它皆入了一种函数的关系了，那这个对应的关系了要怎么样的写了，那我假设自变数X代表身高，应变式f(x)代表票价，我们根据这个售票咨询了，就可以写出f(x)=990,if x大于和等于130，690ifx小于130，那用这个函数了，就可以描述出身高和票价的对应关系，那当我们输入某一个自变数X，只要这个自变数大于和等于130，比如说自变数是167，153，或者188，那这些X都大于130，那我们得到的输出就是990，这些身高的人都需要购买全票，那当我们输入某一个自变数X，只要这个自变数小于130的时候了，比如说我们输入的是92 114 126 那这些X都小于130，所以输入端了会得到690，那这个身高票价的关系也是一个很好的函数的列子，我们在前面所讲的机器的比喻了可以算是函数的一个入门概念，如果我们有严谨的数学来定义函数的话，它其实还是有限制的，它是怎样的限制了，那我们用集合这个概念来说明，现在假设有两个集合A和B，这两个集合之间存在一个对应法则f,1.集合A中的每一个元素x都有对应，2.集合A中的每一个元素x都恰邮件一个Y与之对应，那我们就可以说A和B之间的对应关系就是一种函数关系，那让我们解释这个定义，首先我们来看第一点，1.集合A中的每一个元素x都有对应，比如说x1 x2 x3 x4 对应B里的y1 y2 y3 y4那我们就可以说A里面的每一个X都有对应，所以这样对应的关系了，就符合我们刚才的定义关系，那这就是一种函数关系，那如果x1 x2 x3对应y2 那X4对应Y4，虽然Y1和Y3没有被对应，但是在我们的定义里面了，只要是集合A的元素，自变数X都有定义，那这样的定义就符合函数关系，不过了情况变成，X123有对应，X4没有对应，这种对应关系，就不能算是一种函数，那接下来我们在看第二个条件，2.集合A中的每一个元素X，都恰有一个Y与之对应，这是什么意思了，举一个列子来说，A里面的X1X2X3，对于B里的Y1Y2Y3，而X4则是对于Y2Y4那这样的对应方式，虽然满足条件1，每一个元素X都有对应，但是却不满足条件2里面说的，都恰有一个Y与之对应，这种情况来说的话，一样不是一种函数，那好有了这个集合概念以后，那我们现在可以来谈一下所谓的定义域Domain,对应域codomain,值域range,就像我们前面讲的，如果两个集合的对应关系满足了条件1和条件2，那我们就说这样的对应关系是一种函数关系，那我们把这个关系写成f:A映射到B，那在这个映射关系里面了，那集合A，所有有明确定义的X所形成的集合了，就是我们的定义域(A),那这边的集合B就是对应域，那另外B只是A映射的一个出列范围，不是每一个Y都会一定被对应，所以对于A里的所有元素X，映射到B实际产生的投影了才是我们正正关心的区域，那这个所谓的区域就是值域(c),那再去结合我们之前讲的机器的比喻了，那我们所讲的这个定义域，其实就是所有的输入，自变数X所形成的集合，那这边的值域（C）就是所有的输出f(x)所形成的集合，那另外补充一下，在微积分里面了，我们常常会看到一个记号，写作f:R映射到R，那这边的R就代表着实数集，那这个记号了，它是要说明，由于在我们微积分的范围里面，要去分享和计算的通常都是实数，因为现实世界里统计数据或者时间长度速度这些物理量了它都不会牵涉到虚数，常常很自然的把R设定成定义域和对应域，不过还是要特别注意了，因为定义域在函数里面有比较严谨的规范，所以常常它的范围会缩小，前面我花了不少的时间都是用集合的观点来诠释函数，不过当我们整整做计算和分析的时候，平面X系用图形来快速来掌握函数，如果我们以知某一个函数它的图形曲线了，那它的定义域和定域很容易从图形了判读出来，如何判读了，其实很简单了，比如说你画面上是一个函数图形Y等于f(x)来说的话，这条函数线在X轴上的范围是落在负2和正3的之间，那其实代表了在这个范围以外的X，没有任何Y和它对应的，所以只有在负2和正3的之间,X才有定义，所以这个区间了就是函数的定义域，那另外函数在Y轴上的投影范围，则是落在0和正5的之间，这代表着所有的应变数Y，或者所有函数的输出f(x)全部都落在这个范围里面，0和5之间很自然的就是它的值域，所以说从前面这个案例了，很清楚的告诉我们，对于任何一条已知的函数线，我们只要找到它在X轴和Y轴上的投影范围，就可以很直接的找到它的定义域和值域，最后让我在介绍一个垂直线测试法（verticallinest)那这个测试方法了，可以直接运用在函数图形上，帮助我们很快的判断出，某一条曲线或者某一个图形是不是符合函数的定义，举例来说，如果有一个图形它是通过原点斜率为1，那么运用垂直线测试法， 我们用一条测试用的垂直线，很快扫描这个图形的全部范围，那如果这个垂直线和图形最多只有一个交点，那这个图形就通过测试，那它就算一个函数，如果图形换成椭圆形，当我们把垂直线移动到椭圆形，除了最左边和最右边两个点以外，这个椭圆行都垂直线产生2个交点，这就表示这个范围里面了一个X会对应到2个Y那这是违反函数的规定的，所以像这样的图形就不符合函数的定义，就不能算函数，以上就是我关于函数的介绍，希望这个文章会给你有所帮助，喜欢的朋友和关注和点赞。