概率(Probability的定义和性质

概率的定义：

描述性定义：
在相同的条件下，独立重复地做 $N$ 次试验，当试验次数 $N$ 很大时，如果事件 $A$ 发生的频率 $f_N(A)$ 稳定地在 $[0, 1]$ 内的某一个数值 $p$ ，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值 $p$ 为事件 $A$ 发生的概率，记为 $P (A) = p$ 。

公理化定义：
设 $E$ 为随机试验， $Ω\Omega$ 是它的样本空间，对于 $E$ 的每一个事件 $A$ 赋予一个实数，记为 $P (A)$ ，如果集合函数 $P (\cdot)$ 满足下列条件：
(1)非负性：对于每一个事件 $A$ ， $P(A)⩾0P(A)\geqslant 0$ ；
(2)规范性： $P(Ω)=1P(\Omega) = 1$
(3)可列可加性：对于两两互斥的事件 $A_1,A_2,…,A_i,…,A_j,…,A_n$ ，即 $AiAj=ϕ(i≠j)A_iA_j = \phi(i \neq j)$ 有： $P(⋃n=1∞An)=∑n=1∞P(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)$ 则称实数 $P (A)$ 为事件 $A$ 的概率。

概率的性质：

性质1：
不可能事件 $ϕ\phi$ 的概率为0，即 $P(ϕ)=0P(\phi)=0$

性质2：
有限可加性，若 $A_1,A_2,…,A_i,…,A_j,…,A_n$ 为两两互斥事件，即 $AiAj=ϕ(i≠j)A_iA_j=\phi(i \neq j)$ ，则有 $P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$

性质3：
设 $A$ ， $B$ 是两个事件， $P (B - A) = P (B) - P (B A)$ ；特别的，若 $\subset B$ ，则:
(1) $P (B - A) = P (B) - P (A)$ ,
(2) $\geqslant P(A)$

性质4：
对于任一事件 $A$ ，有 $\leqslant 1$

性质5：
对于任一事件 $A$ ，有 $P(A‾)=1−P(A)P(\overline A) = 1-P(A)$

性质6：
对于任意两个事件 $A$ 、 $B$ 有 $P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(AB)$ ;特别地，若 $A$ 与 $B$ 互斥，则有 $P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A\cup B) = P(A) + P(B)$ 。
上述公式通常称为概率加法公式： $P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−∑1⩽i<j⩽nP(AiAj)+∑1⩽i<j<k⩽nP(AiAjAk)+…+(−1)n−1P(AiAj…An)P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n}P(A_iA_j)+\sum_{1\leqslant i < j <k \leqslant n}P(A_iA_jA_k)+…+(-1)^{n-1}P(A_iA_j…A_n)$

重要的概率关系公式：

事件独立性：
事件相互独立，即多个事件的发生相互之间没有影响，或不提供任何信息引起其他事件的发生。若 $A$ 、 $B$ 两事件相互独立，则有 $P (A B) = P (A) P (B)$
德摩根定律：
两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集：
$AB‾=A‾∪B‾\overline{AB}=\overline A \cup \overline B$ 两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集 $A∪B‾=A‾∩B‾\overline {A \cup B}=\overline A \cap \overline B$
概率的性质三：
$P (A - B) = P (A) - P (A B)$ 若 $\subset A$ ，则:
$P (A - B) = P (A) - P (B)$
概率的性质五：
对于任一事件 $A$ ，有 $P(A‾)=1−P(A)P(\overline A) = 1-P(A)$
概率加法公式(概率的性质六)：
$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(AB)$ 当 $A$ 与 $B$ 互斥，则： $P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
条件概率：
求事件 $B$ 已发生的条件下事件 $A$ 发生条件概率，即： $P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
乘法公式：
求几个事件同时发生的概率，即： $P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)…P(A_n|A_1…A_{n-1})$ 例如，若有 $A$ 、 $B$ 两随机事件，则 $A$ 、 $B$ 同时发生的概率为： $P (A B) = P (A) P (B ∣ A)$
全概率公式：
某一事件 $B$ 发生是由各种原因 $A_i,(i=1,2,…,n)$ 引起的，则 $B$ 发生的概率与 $P(BA_i),(i=1,2,…,n)$ 有关，且等于他们的总和，即 $P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$
贝叶斯公式(逆全概率公式)：
当结果 $B$ 发生时，它是由原因 $A_i$ 引起的可能性的大小，即要计算事件 $A_i$ 在事件 $B$ 已发生的条件下的条件概率为： $P(Ai∣B)=P(Ai)P(B∣Ai)∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}$