一、概念描述

现代数学：一般来说，变换是指在一定集合中满足一定要求的相应规律。就图形变换而言，由于几何图形都是点集，所以图形变换可以通过点变换来实现。如果一个平面图的每一个点都对应着平面上一个新图的一个点，而新图中的每一个点只对应着原图中的一个点，这种对应关系就叫做图变换。几何中最重要的变换是同余变换和相似变换。

小学数学：小学数学教材中没有图形变换的明确定义。然而，图形变换中最重要的两种变换形式——同余变换和相似变换都涉及到了。比如小学的全等变换主要研究平移变换、旋转变换和轴对称变换；六年级学完音阶，学图形的放大缩小其实也是类似的变换。

二.概念解释

几何是点的集合，所以图的变换可以通过点的变化来实现。在图形变换过程中，平面图形上的每一点都对应同一平面上新图形的每一点，新图形中的每一点只对应原图形中的一点。

图形变换过程中有两种形式。一是变换前后图形的形状和大小不变，只是位置变化。这种变换叫做全等变换。在同余变换中，原图中任意两点之间的距离等于新图中对应两点之间的距离，因此同余变换也称为保距变换。

有几种方法可以改变完整的转换。我们可以直观地想象，两个形状大小相同的图形中，有一个图形可以与另一个图形重叠，这是一种什么样的“运动”。

让我们以两个全等三角形为例——如果其中一个三角形被平移到另一个三角形，当两个三角形的其中一个顶点可以重叠时会发生什么？

第一：两个三角形完全重合。(如下图所示)

第二种：两个三角形不能完全重合，但绕这个顶点旋转一定角度就可以完全重合。(如下图所示)

第三种：两个三角形不能完全重合，绕这个顶点旋转一定角度也不能完全重合。这时需要翻转图形，使两个三角形完全重合。(如下图所示)

从上面的例子不难看出，这三种情况实际上是三种基本的全等变换，即平移变换、旋转变换和轴对称变换(反射变换)。

另一种变换形式是形状不变但大小变。这种变换称为相似变换。相似变换可以保持图形的形状不变，但只能改变图形的大小。在相似变换中，原始图中所有角的大小保持不变，因此相似变换也称为保角变换。

三.教学建议

在小学数学教学中，图形变换主要研究三种基本的全等变换，即平移变换、旋转变换和轴对称变换。相似变换只在第二学习期渗透。比如学习尺度时，两个数字按比例放大或缩小，其实是一种相似性变换。因此，在教学中，教师要认清这些转变的异同，准确把握小学阶段的具体要求。

(1)教学时要引导学生了解具体情境中的转化现象。

学生们很久以前就体验过物体或图形的运动。他们已经通过折纸、玩风车、照镜子等生活体验，获得了平移、旋转、倒影等体验。因此，在教学中，教师要善于调动学生的生活经验，为学生提供大量丰富的体育现象，给予学生充分的时间和空间想象，鼓励学生对这些材料进行分析，从而直观地了解转化现象。

(2)在教学中，我们应该

比如学生对翻译转化有了初步的了解之后，一般在小学三年级的时候，教材会安排学生尝试在正方形的纸上画一个转化的图形，如下图所示。

当学生解决这个问题时，就会出现一些问题。比如有同学认为两个小树之间的空格就是翻译的格数。这时，教师可以用动画演示引导学生观察，发现翻译前后对应点的距离相等，进而觉得翻译的距离可以由点的距离来决定。

实际上，这样的活动正是让学生在整体感受变换现象的基础上，尝试如何刻画平移，当然这个过程是借助方格纸并通过操作实现的。

又如，在小学六年级学生学习完比例尺后，研究两个图形按比例放大或缩小这一内容时，教师可以尝试这样设计教学：①从生活中的放大，缩小引入，让学生感受到生活中存在许多放大与缩小的现象，进而引出研究问题—“图形的放大与缩小”。②为学生提供必要的学具

（方格纸、直尺），组织学生探索交流放大或缩小后的图形与原图比较有什么发现？

在交流中使学生初步感受到把一个图形的各边按一定的比例可以进行放大或缩小，从而得到该图形放大或缩小后的图形。在探索中，学生会发现放大或缩小后的图形长和宽的比与原来图形的长和宽的比是完全一样的。但教师要认识到，此时对于“放大或缩小”的学习不是相似变换的学习，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原图形形状相同、大小不同。这样的探索过程为学生今后研究相似变换奠定了基础。

四．推荐阅读

《小学数学教学策略》（张丹，北京师范大学出版社，2010）

该书第170-179页针对图形与变换的教学提出了一些具体的教学策略。体贴的小懒猪还有很多案例分析，对于案例的分析解读也很精彩。